Счётные множества.

1. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно.

Элементы В можно перенумеровать в порядке их следования в А; так как В бесконечно, для нумерации будут использованы все натуральные числа.

2. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество.

Докажем это утверждение сначала для двух счётных множеств А={a₁, a₂, a₃,…} и В={b₁, b₂, b₃,…}. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,… и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если Ø, т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается). В результате будут пронумерованы все элементы множества , что доказывает его счётность. Также доказывается счётность объединения трёх, четырёх и вообще любого конечного числа счётных множеств. В случае счётного числа счётных множеств {A₁, A₂, A₃, A₄, …}способ нумерации может быть, например, таким:

A1={a11, a12, a13, a14,…} A2={a21, a22, a23, a24,…} A3={a31, a32, a33, a34,…} A4={a41, a42, a43, a44,…} …………………………

Нумерация начинается с элемента a11 и продолжается в направлении стрелок, повторяющиеся элементы при этом пропускаются.

3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q₁ всех целых чисел n=0,±1,±2,±3,….;

множество Q₂ всех дробей вида n/2,множество Q₃ всех дробей вида n/3,…………….,

множество Q_к всех дробей вида n/к, n=0,±1,±2,±3,…..; следовательно, оно счётно.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

4. Если А={a_n|nÎZ} и В={b_n|nÎZ} - счётные множества, то множество всех пар {(a_n,b_к)|n,кÎZ} - счётно.

5. Множество всех многочленов (произвольных степеней) с рациональными коэффициентами (a_iÎQ) счётно.

6. Алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество алгебраических чисел счётно.

7. Множество всех отрезков [a,b] с рациональными концами a, b счётно.

8. Множество взаимно не пересекающихся интервалов (a,b) на оси счётно.

9. Множество точек разрыва монотонной функции счётно.