Электростатическое поле

Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного, оно создается неподвижными в пространстве (относительно наблюдателя) и неизменными во времени зарядами. Непосредственно на органы чувств человека электростатическое поле не воздействует, но ему присуща способность воздействовать с механической силой на помещенный в него пробный заряд. Это воздействие и положено в основу обнаружения электростатического поля и определения его интенсивности.

Основными величинами, характеризующими свойства этого поля являются его напряженность и потенциал. Если в электростатическое поле поместить настолько малый пробный заряд, что он своим присутствием не исказит его, то на него будет действовать сила Отношение этой силы к величине заряда и даст напряженность поля Если , то Отсюда следует, что напряженность поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, она характеризует интенсивность поля. Единица измерения напряженности

Допустим, что в некотором электростатическом поле единичный положительный пробный заряд под действием сил поля переместился из точки 1 в точку 2 (рис.11.1). Тогда даст работу по перемещению этого заряда из т.1 в т.2. Из курса физики известно, что работа поп перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую есть напряжение или разность потенциалов, т.е. Если то Отсюда следует, что потенциал некоторой точки есть работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точку в ту, потенциал которой равен нулю. В качестве точки , имеющей нулевой потенциал, может быть выбрана любая. Часто её помещают в бесконечность, иногда на поверхность земли. Если точка с нулевым потенциалом выбрана, то совершенно однозначно определяются потенциалы всех остальных точек. Из рассмотренного видно, что потенциал определяется с точностью до постоянной, зависящей от того куда помещается точка с нулевым потенциалом. В связи с этим связь между потенциалом и напряженностью записывают так: Тот факт, что потенциал определяется с точностью до постоянной практического значения не имеет, т.к. важно напряжение, которое равно разности потенциалов, а при её взятии постоянная интегрирования уничтожается.

Если взять по замкнутому контуру, то он даст ноль, т.е. Это означает, что при движении вдоль замкнутого контура совершается определенная работа силами поля и точно такая же работа выполняется против сил поля. Соотношение выражает одно из основных свойств электростатического поля - оно является потенциальным (потенциальными являются все поля, для которых выполняется подобное соотношение – гравитационные, тепловые и т.д.).

Графическая картина электростатического поля

Электростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности и потенциала в функции координат. Нагляднее же его можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий, которая и называется его графической картиной. Силовой называется такая мысленно проведенная в поле линия, которая начинается на положительно заряженном теле, заканчивается на отрицательно заряженном теле и касательная к которой в любой точке дает направление вектора Е. Вдоль силовой линии перемещался бы весьма малый положительный заряд, имеющий возможность свободно двигаться и не обладающий инерцией. Так как положительный и отрицательный заряды не могут находиться в одной точке, то силовые линии имеют начало и конец, они не могут быть замкнутыми сами на себя. В любом электростатическом поле могут быть проведены эквипотенциальные поверхности как совокупности точек, имеющих один и тот же потенциал. Если поле рассечь какой либо плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы эквипотенциальных поверхностей, которые и называются эквипотенциальными линиями. В противоположность силовым эквипотенциальные линии являются непрерывными, замкнутыми сами на себя. В любой точке поля силовые и эквипотенциальные линии перпендикулярны друг другу. Для примера приведем графическую картину электростатического поля двух точечных зарядов (рис.11.2).

Cвязь между напряженностью поля и потенциалом

Выясненная ранее взаимосвязь напряженности и потенциала называется интегральной. На практике же чаще используется дифференциальная связь между этими величинами для выяснения которой выделим в некотором электростатическом поле две эквипотенциальные линии (рис.11.3). Пусть все точки первой линии обладают потенциалом φ₁, а второй – φ₂. Для определенности будем полагать, что φ₁>φ₂, но отличаются они на бесконечно малую величину, т.е. φ₁-φ₂=dφ. Расстояние между линиями – dl. Выберем на первой линии произвольную точку 1, а на второй – точку 2. Если разность потенциалов между этими точками поделить на кратчайшее расстояние между ними (по прямой), то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость зависит от того, как выбраны точки. Если, например, точку 2 смещать вверх, то она упадет, поскольку не dφ изменится, а расстояние между точками возрастет. Если т.2 смещать вниз, то происходит возрастание указанной скорости. Когда т.2 займет положение, наиболее близкое к т.1 (т.3), скорость изменения потенциала станет максимальной. В математике вводится понятие градиента скалярной функции, как скорости её изменения, взятой в направлении наибольшего возрастания. Применим это понятие к потенциалу, т.е. рассмотрим gradφ. Это будет вектор – он имеет направление от т.3 к т.1 (направление наибольшего возрастания), а его модуль равен Напряженность поля направлена от более высокого потенциала (φ₁) к меньшему (φ₂), а её модуль равен (см. интегральную форму). Поскольку модули векторов Е и gradφ одинаковы, а направлены они в противоположные стороны, то .

Направление наибольшего возрастания потенциала в общем случае не совпадает ни с какой координатной осью, поэтому gradφ представляется в виде суммы проекций по координатным осям, например, в прямоугольной системе координат (рис.11.4) где - орты (единичные векторы) прямоугольной системы, - скорости изменения потенциала вдоль соответствующей оси. Напряженность Е также может быть записана через проекции Два вектора равны друг другу, если у них одинаковы проекции, т.е. Именно последние три формулы используются в практических расчетах.

Для сокращения записи различных операций в теории поля широко используется не имеющий физического смысла дифференциальный оператор Гамильтона (набла), под которым понимают сумму частных производных по координатным осям, умноженных на соответствующие орты. В декартовой системе координат он имеет вид: Формально набла можно рассматривать как вектор. Он может быть применен как к скалярной, так и к векторной функции. Та функция, действие над которой производят (дифференцирование по координатным осям или пространственное дифференцирование) пишется справа от Если справа от не указана функция, то сам по себе оператор набла не применяется (аналогично как sin, log и т.д.). Применив оператор набла к потенциалу и сравнив его с , видим, что = (для скалярной функции частная и полная производные совпадают). Тогда связь между напряженностью и потенциалом может быть записана так:

Поляризация вещества

В веществах различают свободные и связанные заряды. Cвободными называются такие заряды, которые под действием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами. Под связанными зарядами понимают такие, которые под действием сил поля могут смещаться только в пределах молекулы. Связанные заряды не отделимы от вещества поэтому сумма положительных связанных зарядов равна сумме отрицательных.

Диэлектрические тела в электростатическом поле поляризуются. Под поляризацией понимают упорядоченное изменение расположения связанных зарядов под действием сил поля. Наглядно можно показать поляризацию с помощью рис.11.5, на котором изображено тело при отсутствии электростатического поля и при его наличии. Если поля нет, то молекулы (диполи) расположены в хаотическом беспорядке (рис.11.5,а). В поляризованном же теле положительные связанные заряды смещаются в сторону более высокого потенциала, а отрицательные – в сторону меньшего (рис.11.5,б), причем смещаются настолько, что силы воздействия электрического поля уравновешиваются внутримолекулярными силами. В результате поляризации на поверхности вещества как бы обнажаются положительные или отрицательные связанные заряды причем сумма первых из них в точности равна сумме вторых. Диполи создают свои поля. В неполяризованном веществе их суммарное действие равно нулю, а в поляризованном – нет, оно приводит к ослаблению результирующего поля и его необходимо учитывать. С этой целью вводится понятие электрического момента диполя. Электрическим моментом двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии l, называется произведение Это вектор, направленный от -q к +q (рис.11.6). Под действием внешнего поля диполи вещества стремятся ориентироваться так, чтобы их электрические моменты совпадали с напряженностью внешнего поля. Практическое значение имеет конечно не один диполь и его электрический момент (он чрезвычайно мал), а сумма электрических моментов диполей, находящихся в единице объёма, которую принято называть вектором поляризации , т.е. Для большинства диэлектриков вектор поляризации пропорционален напряженности поля а коэффициент пропорциональности между ними k называется электрической восприимчивостью.

Кроме рассмотренных выше векторных величин и , физический смысл которых мы выяснили, в теории поля в расчет вводят ещё вектор , который называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Он определяется следующим образом: где называется относительной диэлектрической проницаемостью среды, в которой создано поле, а абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой создано поле. показывает во сколько раз электрические свойства среды отличаются от свойств вакуума (это отличие имеет место за счет поляризации). Для всех сред определено экспериментальным путем и приводится в справочниках.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса представляет собой основной закон электростатического поля. Он обнаружен экспериментальным путем и математически записывается так поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объём, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности (в сумме заряды берутся со своими знаками). Поскольку то . Для однородных и изотропных сред является постоянной величиной и её можно вынести за знак интеграла, тогда Интересно, что поток вектора D или Е зависит только от и не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности. Поток вектора Е создается не только свободными, но и связанными зарядами. Последние можно учитывать не через , а через отдельно взятую сумму связанных зарядов и тогда формула теоремы Гаусса выглядит так: Эти три формулы представляют собой интегральную форму записи теоремы Гаусса, которая с большой эффективностью и простотой может быть использована для расчета напряженности поля в какой-либо точке, если через неё можно провести замкнутую поверхность, все точки которой находятся в одинаковых условиях по отношению к зарядам, создающим поле. В качестве примера рассчитаем поле, создаваемое точечным зарядом.

Точечным называется заряд, расположенный на теле очень малых геометрических размеров. На рис.11.7 он изобразится в виде точки (отсюда и название). Допустим, что этот заряд является положительным и расположен в среде с проницаемостью . Возьмём произвольную точку, отстоящую на расстояние r от точечного заряда. Напряженность в этой точке будет направлена по радиальной линии (см. рис.11.7). Для её расчета применим формулу С этой целью проведём через данную точку замкнутую сферическую поверхность с центром, совпадающим с точечным зарядом. Вектор элементарной поверхности направляется в сторону внешней нормали к площадке (она расположена в окрестности рассматриваемой точки). Поскольку в нашем примере векторы Е и ds совпадают, то их произведение совпадает с произведением модулей. Кроме того во всех точках рассматриваемой сферы величина вектора Е одинакова в силу симметрии. С учётом сказанного имеем: поскольку поверхность сферы равна Сумма свободных зарядов равна только заданному точечному заряду . Подставляя эти значения в формулу теоремы Гаусса, получаем: Таким образом, в данном поле напряженность изменяется обратно пропорционально r².

Произведём расчет потенциала в данном поле, исходя из формулы . Если учесть, что напряженность, а значит и потенциал, зависят только от радиуса, то последняя формула перепишется так откуда Отсюда следует, что потенциал в данном поле изменяется обратно пропорционально r. Постоянная интегрирования А зависит от того, где расположить точку с нулевым потенциалом.

Интегральная форма записи теоремы Гаусса не даёт ответа на вопрос о том, как связана напряженность поля в данной точке с зарядом в этой же точке. Ответ на этот вопрос даёт дифференциальная форма этой теоремы, которая вытекает из интегральной. Для этого выражение поделим на величину объёма, ограниченного поверхностью интегрирования Это соотношение справедливо для объёма любой величины. Устремим его к нулю (говорят, что стянем поверхность в точку). Тогда Предел отношения потока вектора D через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объём, к величине этого объёма называется дивергенцией вектора D ( ) или истоком, или расхождением. В правой части последнего равенства стоит объёмная плотность свободного заряда ρ_св. Тогда Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме. Её суть поясним с помощью трех случаев, отраженных на рис.11.8. Если в рассматриваемой точке поля объёмная плотность свободного заряда положительна, то из бесконечно малого объёма, окружающего данную точку, линии вектора D исходят (исток положительный, расхождение положительное, дивергенция положительная). Если в рассматриваемой точке поля объёмная плотность свободного заряда отрицательная, то в бесконечно малый объём, окружающий данную точку, линии вектора D входят (исток отрицательный, расхождение отрицательное, дивергенция отрицательная). И, наконец, если в рассматриваемой точке нет свободного заряда, то в такой точке нет ни стока ни истока линий вектора D, т.е. в такой точке лини вектора D не начинаются и не заканчиваются, а пронизывают бесконечно малый объём, окружающий данную точку.

Поскольку то Для однородных и изотропных сред является постоянной величиной и её можно вынести за знак div, тогда получим: Если явление поляризации учитывать с помощью связанных зарядов, то последнее выражение можно так переписать где
ρ_связ- объёмная плотность связанных зарядов. Опуская вывод выражения , запишем его в прямоугольной системе координат она представляет собой сумму частных производных проекций вектора Е по трём координатным осям. Покажем, что скалярное произведение оператора набла и вектора Е означает взятие дивергенции от последнего:

В связи с этим теорему Гаусса в дифференциальной форме часто записывают так

Уравнения Пуассона и Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа вытекают из теоремы Гаусса в дифформе и тоже относятся к числу основных уравнений электростатики. Действительно, известно, что . В тоже время Подставляя первое выражение во второе, получаем или Вместо дивергенции и градиента можно использовать оператор набла, тогда получим . называется лапласианом и обозначается так . Тогда . Это и есть уравнение Пуассона. Раскроем лапласиан потенциала в прямоугольной системе координат: поскольку произведение одноименных ортов даёт единицу, а разноименных – ноль.

Частный вид уравнения Пуассона при ρ_св=0 называется уравнением Лапласа. Оно выглядит так или в прямоугольной системе координат . Уравнение Лапласа описывает области электростатического поля, не занятые свободным зарядом.

В электростатике встречаются задачи, которые значительно легче решаются не в прямоугольной, а в цилиндрической или сферической системе координат (рис.11.9). Выражение лапласиана потенциала в цилиндрической системе координат имеет вид: , а в сферической .

Решение уравнений Пуассона и Лапласа в математическом отношении является весьма сложной задачей, но зато их решение позволяет определить закон изменения потенциала по известному распределению заряда. При решении этих уравнений появляются постоянные интегрирования, которые определяются исходя из граничных условий.

Граничные условия в электростатическом поле

Под граничными условиями понимают условия, которым удовлетворяет поле на границе раздела двух различных сред. Прежде чем перейти к обсуждению граничных условий, рассмотрим поведение проводящего тела в электростатическом поле. Проводящим называется тело, в составе которого имеются свободные заряды. Пусть некоторое проводящее тело помещено в электростатическое поле (рис.11.10). Тогда на каждый свободный заряд со стороны поля начнет действовать сила, под действием которой положительные свободные заряды будут перемещаться в сторону низкого потенциала, а отрицательные – сторону высокого. Перемещение зарядов возможно только в пределах проводящего тела, поэтому они скапливаются на его поверхности (положительные – со стороны низкого потенциала, а отрицательные – со стороны высокого). Это явление получило название электростатической индукции, а скопившиеся на поверхности проводника заряды называются индуктированными. Хотя сумма положительных индуктированных зарядов в точности равна сумме отрицательных и в целом тело электрически нейтрально (если оно не было предварительно заряжено), но индуктированные заряды создают своё поле, что приводит к изменению результирующего поля внутри тела и вблизи его и в его окрестности.

Все точки проводящего тела имеют один и тот же потенциал, так как если допустить, что между двумя точками имеется разность потенциалов, то под действием этой разности протечет ток и потенциалы уравновесятся. Так как все точки проводящего тела имеют один и тот же потенциал, то напряженность электростатического поля внутри его т.е. поле внутри проводящего тела отсутствует. С физической точки зрения это объясняется тем, что внешнее поле полностью компенсируется полем индуктированных зарядов (см. рис.11.10). Индуктированных зарядов наводится именно столько и располагаются они именно так, чтобы внутри проводящего тела поля полностью компенсировались. Таким образом, объём, занятый проводящим телом является эквипотенциальным. Описанное свойство проводящих тел используется на практике для экранирования аппаратуры от воздействия внешних электростатических полей.

Условия на границе раздела диэлектрика и проводящего тела. На такой границе выполняются два условия: для всех точек диэлектрика, непосредственно примыкающих к поверхности проводника равна нулю тангенциальная составляющая напряженности поля (E_t=0), а вектор электрического смещения численно равен поверхностной плотности индуктированного заряда (D=σ).

Для доказательства первого условия возьмём две точки (1 и 2) на границе раздела диэлектрик-проводник (рис.11.11). Тангенциальная составляющая вектора Е будет направлена по линии, соединяющей эти точки и определится так , но , т.к. точки 1 и 2 принадлежат и проводнику, а поэтому E_t=0, что и требовалось доказать. Таким образом, силовые линии электростатического поля подходят к поверхности проводника под прямым углом (E_t=0).

Для доказательства второго условия возьмем произвольную точку на границе и окружим её бесконечно малым плоским объёмом в виде параллелепипеда (рис.11.12) и применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме . Поскольку нижняя грань находится в проводящей среде, то через неё поток вектора D равен нулю, также как и через боковые грани (эти грани бесконечно малы, кроме того вектор D скользит вдоль них). Поток вектора D через верхнюю грань равен , т.к. векторы D и ds совпадают по направлению. Внутри поверхности интегрирования находятся только индуктированные заряды и их количество равно , где - поверхностная плотность индуктированного заряда. Тогда или .

Условия на границе раздела двух различных диэлектриков. На такой границе выполняются два условия: для всех точек, являющихся общими для двух различных диэлектриков, равны по величине тангенциальные составляющие вектора Е (Е_1t=Е_2t)и нормальные составляющие вектора D (D_1n=D_2n).

Покажем справедливость первого условия для чего возьмём произвольную точку на границе раздела двух различных диэлектриков и окружим её бесконечно малым (длина - dl) плоским (высота бесконечно мала по сравнению с длиной) контуром mnpq (рис.11.13). Составим выражение циркуляции вектора E вдоль этого контура. Сторона mn находится в верхней среде и, если контур обходить по часовой стрелке, то составляющая циркуляции вдоль этой стороны . Аналогично для стороны pq, находящейся во второй среде . В последнем выражении минус стоит потому, что тангенциальная составляющая Е_2t и вектор dl направлены в противоположные стороны. Составляющими циркуляции вектора Е вдоль сторон pm и nq можно пренебречь в силу малости этих сторон. Для потенциального поля, которым является электростатическое, . Тогда или , что и требовалось доказать.

Для доказательства второго условия возьмем произвольную точку на границе и окружим её бесконечно малым плоским объёмом в виде параллелепипеда (рис.11.14) и применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме . Через боковые грани потоком вектора D можно пренебречь из-за малости этих граней, а через верхнюю и нижнюю – соответственно и . Следовательно, . Внутри выделенного объёма нет свободных зарядов, т.е. . Тогда или . Если на границе раздела двух диэлектриков присутствуют свободные заряды с поверхностной плотностью σ (встречается очень редко), то или , т.е. при наличии на границе раздела свободных зарядов нормальная составляющая вектора D претерпевает скачок на величину поверхностной плотности свободного заряда.

Далее рассмотрим ряд конкретных примеров расчета электростатических полей.

Электростатическое поле заряженной оси

Заряженной осью называется очень тонкий, теоретически бесконечно длинный проводник, несущий на себе заряд. Весь заряд оси указать невозможно (он равен бесконечности), поэтому указывается линейный заряд , т.е. заряд, приходящийся на единицу длины оси. Пусть ось с положительным зарядом τ находится в среде с проницаемостью ε_а (рис.11.15). Используя интегральную форму теоремы Гаусса, произведем расчет напряженности поля в произвольной точке, удаленной на расстояние r от оси. С этой целью проведем через данную точку замкнутую поверхность в виде цилиндра длиной l. Поток вектора Е имеет место только через боковую поверхность этого цилиндра, поскольку в точках, расположенных на его донышках векторы Е и ds перпендикулярны и их произведение равно нулю. В точках же боковой поверхности векторы Е и ds совпадают по направлению и их произведение равно произведению модулей, а модуль Е одинаков во всех этих точках в силу симметрии. С учетом сказанного имеем Внутри поверхности интегрирования заряд . Поэтому или т.е. напряженность в данном поле изменяется обратно пропорционально расстоянию от оси.

Потенциал Постоянная интегрирования А зависит от того, где расположить точку с нулевым потенциалом. Следовательно, в данном поле потенциал изменяется по логарифмическому закону.

Электростатическое поле двух заряженных осей

На практике чаще всего две заряженные оси несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды +E ds l r τ и -τ. Именно такой случай и рассмотрим (рис.11.16). Возьмем в поле произвольную точку М, положение которой будем характеризовать расстоянием а до положительной оси и расстоянием b до отрицательной оси и в первую очередь рассчитаем в ней напряженность поля, используя метод наложения: где - составляющие, создаваемые положительно и отрицательно заряженной осью соответственно. Величины этих составляющих могут быть определены по формулам, взятым из предыдущей темы, а именно: Аналогично для потенциала , где . Тогда Из последнего выражения следует, что совокупность точек, для которых , представляет собой эквипотенциаль. Из геометрии известно, что геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до двух заданных точек является величиной постоянной, есть окружность (теорема Аполлония). Поэтому эквипотенциали в поле двух заряженных осей являются окружностями. Для построения эквипотенциальной линии, проходящей через точку М, проводим биссектрисы внутреннего аМb н внешнего рМа углов. Точки пересечения этих биссектрис с линией, проведенной через оси, (т.1 и т.2), а также т. М являются тремя точками этой эквипотенциали. Центр этой окружности находится в точке, расположенной посредине между т.1 и т.2.

Электростатическое поле и ёмкость двухпроводной линии электропередачи (ЛЭП)

Пусть провода ЛЭП имеют одинаковый радиус r_о,расположены на расстоянии d друг от друга и находятся в среде с проницаемостью ε_а (рис.11.17). Если левому проводу сообщен заряд τ на единицу длины, правому -τ, то в пространстве между проводами возникнет электростатическое поле, которое можно представить в виде части поля двух заряденных осей. Действительно, поскольку провода металлические, то внутри них поля нет (Е=0), а потенциал всех точек каждого провода одинаков, т.е. поверхность каждого провода является эквипотенциальной. Поэтому две заряженные оси, расположенные в т. m и n, создадут такую же картину поля как и двухпроводная ЛЭП, если т. m и n расположить так, чтобы поверхности проводов были для них эквипотенциалями. Точки m и n принято называть электрическими осями в отличие от геометрических осей (точки О и О₁). Смещение электрических и геометрических осей (x) в силу симметрии одинаково в левом и правом проводе. Для определения величины x возьмём точки 1 и 2 и запишем выражения потенциалов этих точек в поле двух заряженных осей, расположенных в т. m и n.

Так как т. 1 и 2 расположены на поверхности одного и того же провода, то φ₁=φ₂, следовательно, Решая это равенство относительно x, получим В этом выражении при отсчете x от т.О плюс определяет положение т. n, а минус – положение т. m. Если d>>r_o, то x₁=0, x₂=d, т.е. электрические и геометрические оси совпадают (нет смещения осей). Часто x не вычисляют по полученной выше формуле, а получают графическим путем. Для этого проводят общую касательную к поверхности проводников, делят расстояние между точками касания (P и Q) пополам (т. С) и проводят дугу окружности, проходящей через т. Р и Q и имеющей центр в т. С. Точки пересечения этой окружности с линией О₁О дают положение электрических осей. Из геометрического определения положения электрических осей так же видно, что при d>>r_o т. m и n сольются с т. О и О₁.

После того, как определено смещение осей, задача сведена к предыдущей.

Перейдем к вопросу о ёмкости двухпроводной линии. Если два проводника разделены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды, то в пространстве между ними создается электростатическое поле. Пусть напряжение между проводниками равно U. Тогда ёмкостью между проводниками называется отношение абсолютной величины заряда на одном из тел к напряжению между ними: . Единица измерения ёмкости – Фарада ( ). Так как напряжение между телами пропорционально заряду на них, то ёмкость ни от заряда, ни от напряжения не зависит, а зависит она от конфигурации и геометрических размеров тел, их взаимного расположения и от свойств диэлектрика, в котором они находятся. Существуют устройства, предназначенные для получения определенной величины ёмкости – это конденсаторы, однако ёмкостью обладают не только конденсаторы, а всякие два тела, способные нести на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды.

Определим ёмкость двухпроводной линии. Напряжение между проводами Заряд одного из проводов q=τl. Тогда Часто определяют ёмкость единицы длины линии А если d>>r_o, то x=0 и Из полученных формул видно, что ёмкость действительно зависит от размеров линии и свойств среды, в которой находятся провода, в частности, если увеличивать расстояние d между проводами, то ёмкость будет уменьшаться.

Электростатическое поле и ёмкость коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой два металлических соосных цилиндра, расположенных один внутри другого и изолированных друг от друга диэлектриком с проницаемостью ε_а (рис.11.18). Такой кабель широко применяется на высоких частотах. Пусть внутренний цилиндр, который называется жилой, несёт на себе заряд +τ, а наружный цилиндр (оболочка) – заряд –τ. Тогда возникнет электростатическое поле, расчёт которого произведём для отдельных областей кабеля. Внутри жилы (0>r>r₁) поля нет, так как жила проводящая, т.е. E=0, φ=const. Для определения напряжённости поля в пространстве между жилой и оболочкой воспользуемся теоремой Гаусса: В качестве поверхности интегрирования возьмём цилиндр радиуса r и длиной l. Поток вектора Е через донышки этого цилиндра равен нулю (векторы Е и ds перпендикулярны), а через его боковую поверхность Тогда Так как Е имеет только радиальную составляющую, то

Для всех точек оболочки кабеля (r₂<r<r₃) E=0, φ=const, так как она проводящая. За пределами кабеля (r₃<r<∞) поэтому E=0, φ=const. Таким образом в данном устройстве поле имеется только в пространстве между жилой и оболочкой.

Ёмкость коаксиального кабеля С= где q=τl, a

Тогда , а

Электростатическое поле и ёмкость однослойного и двухслойного плоских конденсаторов

Однослойный плоский конденсатор состоит из двух металлических пластин сечением S, расположенных на расстоянии d друг от друга (рис.11.19). Определим закон изменения Е, D и φ, если к нему подведено напряжение U. Если размеры пластин (длина, высота) намного больше d, то можно пренебречь краевым эффектом (искажением поля на краях пластин) и считать его электростатическое поле равномерным, т.е. при всех значениях х напряженность поля одна и та же. Тогда откуда

а D=ε_aE= Так как а φ зависит только от х (плоскость yoz - эквипотенциаль), то или Для определения постоянной интегрирования А примем, что потенциал правой пластины равен нулю, а левой равен U, т.е. при х=0 φ=U. Тогда А=U и т.е. φ изменяется по линейному закону в зависимости от х.

Определим ёмкость плоского конденсатора С= где U=Ed. Для определения заряда, например, левой пластины воспользуемся теоремой Гаусса: причем Определим поток вектора D через замкнутую поверхность, охватывающую эту пластину (рис.11.19) так как векторы D и ds совпадают по направлению и D имеет одно и тоже значение во всех точках, находящихся внутри конденсатора. Следовательно, q=DS= ε_aES и

Двухслойный конденсатор (рис.11.20) отличается от предыдущего тем, что изоляция между пластинами состоит из двух слоёв с проницаемостями ε_1а и ε_2а. Если по-прежнему пренебречь краевым эффектом, то поле такого конденсатора характерно тем, что в каждом слое оно является однородным с напряженностями Е₁ и Е₂ соответственно. Тогда Однако этого уравнения недостаточно для определения Е₁ и Е₂. Для составления второго уравнения используем граничные условия. Известно, что на границе раздела двух разных диэлектриков равны нормальные составляющие вектора электростатической индукции (D_1n=D_2n). Если учесть, что в нашем случае эти векторы перпендикулярны к границе, то это равенство примет вид D₁=D₂ или ε_1аЕ₁= ε_2аЕ₂. Это и будет второе уравнение. Решая совместно эти уравнения, получим

Определим закон изменения потенциала:

Постоянную интегрирования А₁ определим из условия, что при х=0 φ₁=U (А₁=U), а А₂ – из условия, что при х=d₁ φ₁=φ₂ (или φ₂=0 при х=d₁+d₂). Из полученных формул видно, что потенциал изменяется по линейному закону. На рис.11.21 показаны графики зависимости от х индукций, напряженностей и потенциалов.

Ёмкость такого конденсатора определяется как эквивалентная двух последовательно соединенных ёмкостей:

где ёмкость первого слоя, а ёмкость второго слоя изоляции конденсатора.

Метод зеркальных изображений

Данный метод применяется для расчета полей, в которых имеется геометрически правильной формы граница раздела различных сред. Это искусственный расчетный метод, сущность которого заключается в том, что в расчет кроме заданных зарядов вводятся еще дополнительные или фиктивные заряды, величина и место расположения которых выбираются такими, чтобы выполнялись граничные условия. Чаще всего фиктивные заряды располагаются в точках зеркального изображения по отношению к заданным, отсюда и название метода. Дополнительные или фиктивные заряды в расчет вводятся для того, чтобы учесть влияние появляющихся в результате электростатической индукции свободные или связанные заряды.

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей поверхности

Пусть заряженная ось с зарядом t расположена параллельно поверхности проводящей среды (рис.11.22). Этой проводящей средой может быть металлическая плита или стенка дома, но чаще всего это земля. Вследствие электростатической индукции на поверхности проводящего тела наводятся заряды, наличие которых приводит к искажению поля по сравнению с полем уединенной оси. Распределение индуктированных зарядов по поверхности проводящей среды является весьма сложным и неизвестным. Несмотря на это задача расчета поля в верхнем полупространстве, заполненном диэлектриком с проницаемостью e_а (в нижнем полупространстве поля нет поскольку там проводящая среда), может быть достаточно просто решена методом зеркальных изображений. Поместим в точку, являющуюся зеркальным изображением заданной оси относительно проводящей поверхности, фиктивную ось с зарядом такой же величины, но противоположного знака, т.е. -t (заметим, что так будет не всегда, фиктивный заряд может иметь и другие величины и знак). Убедимся в том, что напряженность Е от двух заряженных осей (t и -t) в любой точке границы раздела сред не имеет тангенциальной составляющей. Действительно, так как тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают ноль. Следовательно, граничные условия между диэлектриком и проводником выполняются, что доказывает правильность выбора величины и места расположения фиктивного заряда. Поэтому напряженность поля и потенциал в любой точке диэлектрика можно определять по известным формулам поля двух заряженных осей: где а – расстояние до положительно заряженной оси, b – расстояние до отрицательно заряженной оси. Если бы фактическая ось несла на себе заряд -t, то задача решалась бы аналогично, только фиктивная ось имела бы заряд +t. Аналогично решается задача о поле точечного заряда, расположенного вблизи проводящей среды.

Электростатическое поле системы проводников, расположенных вблизи проводящей поверхности (частичные ёмкости)

В качестве системы проводников, расположенных вблизи проводящей поверхности, рассмотрим многопроводную линию электропередачи (ЛЭП), состоящую из n весьма длинных проводов, протянутых параллельно поверхности земли (рис.11.23).

Пусть известны заряды каждого провода t_к (будем считать их положительными), их радиусы r_к, высоты подвеса h_к, взаимное расположение и свойства среды (e_а), в которой они находятся. Вследствие электростатической индукции на поверхности земли появятся свободные заряды, которые окажут влияние на результирующее электростатическое поле. Для учета этого влияния воспользуемся методом зеркальных изображений, для чего введём в расчет n фиктивных проводов, расположенных в точках зеркального изображения по отношению к заданным. Возьмём в диэлектрике произвольную точку М и определим её потенциал, используя метод наложения: j_М=j_М1`+j_М2+j_М3+…+j_Мn, где j_М1 – составляющая потенциала, создаваемая первым проводом и его зеркальным изображением, j_М2 - составляющая, создаваемая вторым проводом и его зеркальным изображением и т.д. Будем полагать, что высоты подвеса проводов намного больше их радиусов, и тогда можно считать, что электрические и геометрические оси проводов совпадают. С учетом сказанного можно записать:

где а_1М - расстояние от точки М до оси первого провода; b_1M – расстояние от точки М до зеркального изображения первого провода; и т.д. Тогда

Если точку М поместить на поверхность первого провода, то его потенциал можно определить по этой формуле, если учесть, что а_1М=r₁, b_1M=2h₁, а_2М=а₁₂ – расстояние между первым и вторым проводниками, b_2M= b₁₂ - расстояние от первого проводника до зеркального изображения второго и т.д., то получим

Аналогично можно определить потенциалы всех проводов ЛЭП и если это сделать, то получим первую группу формул Максвелла:

В этих уравнениях Коэффициенты a_кк и a_кm зависят только от геометрических размеров тел, их взаимного расположения и от свойств среды, в которой они находятся. Называются они потенциальными коэффициентами, измеряются в м/Ф и все являются положительными (под знаком логарифма стоит дробь, числитель которой всегда больше знаменателя). Им можно дать такое толкование. Пусть заряды всех проводов кроме первого равны нулю, а t₁=1. Тогда первая группа формул Максвелла принимает вид: j₁=a₁₁; j₂=a₂₁; j₃=a₃₁; … j_n=a_n1. Следовательно, a₁₁ равен потенциалу первого провода, если на нём заряд равен 1, а остальные провода заряда не имеют, a₂₁ равен потенциалу второго провода в указанных условиях и т.д.

Первая группа формул Максвелла определяет потенциалы проводов по их зарядам. Однако на практике часто возникает обратная задача определения зарядов проводов по их потенциалам. Это можно сделать, если первую группу формул Максвелла решить относительно зарядов, полагая потенциалы проводов и коэффициенты a известными. Тогда получим вторую группу формул Максвелла:

здесь где D - главный определитель первой группы формул Максвелла, состоящий из потенциальных коэффициентов a, а D_кm– алгебраическое дополнение, получаемое из D путём вычеркивания к-ой строки, m-го столбца и умножения оставшегося определителя на Размерность емкостных коэффициентов обратна размерности потенциальных коэффициентов, т.е. Ф/м, поскольку D_km на порядок ниже главного определителя D. Ёмкостные коэффициенты имеют различные знаки, а именно b_кк>0, а b_кm(к¹m)<0. К сожалению уследить по формуле справедливость указанных знаков очень сложно. В справедливости таких знаков можно убедиться проделав небольшой опыт. Возьмём систему из трёх проводников (рис.11.24). Второй и третий соединим тонкими проводочками (чтобы не искажали картину поля) с землёй, а первому проводнику придадим положительный потенциал j₁=Е, соединив его с землёй, например, через источник постоянной ЭДС (рис.11.24). Тогда на первом проводе накопится некоторый положительный заряд t₁, а точно такой же отрицательный заряд растечется по всей земле и телам, соединенным с ней. Части отрицательного заряда попадут на второй и третий проводники. Если вторую группу формул Максвелла переписать для этого опыта, то получим: t₁=b₁₁j₁; t₂=b₂₁j₁; t₃=b₃₁j₁,

откуда имеем: Ёмкостные коэффициенты можно определять экспериментальным путём. Если после зарядки системы, включить гальванометры G₁-G₃ (рис.11.25) и замкнуть ключ, то система разрядится и в процессе разряда гальванометры измерят заряды t₁- t₃ соответственно. Тогда по последним формулам, зная j₁, можно определить b₁₁-b₃₁. Следует заметить, b_кm=b_mк, поскольку D_кm=D_mк из-за симметричности D относительно главной диагонали.

Вторая группа формул Максвелла неудобна в том отношении, что в ней фигурируют потенциалы проводов, а не напряжения между ними. Поэтому часто эту систему переписывают так, чтобы в правой части фигурировали напряжения между рассматриваемым проводником и всеми остальными, в том числе и землёй.