Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Любая строка второй группы формул Максвелла может быть записана в компактной форме




Преобразуем выражение где - напряжение между к-м и m-м проводами. Тогда Обозначив получим Придавая индексу k значения от 1 до n, распишем систему уравнений, которая получила название третей группы формул Максвелла:

Входящие в эти уравнения коэффициенты С получили название частичных ёмкостей, причем называется собственной частичной ёмкостью k-го проводника. В указанной сумме положительным является только одно слагаемое (bkk), тем не менее Сkk всегда положительна. В этом можно убедиться, проделав следующий опыт: соединим (тоненькими проводочками) все провода ЛЭП с первым и произведём зарядку этой системы, соединив её с землёй через источник постоянной ЭДС (рис.11.26). Тогда на первом проводе накопится некоторый положительный заряд t1, а его потенциал j1=Е>0. Первое уравнение третей группы формул Максвелла для этого опыта имеет вид (U12=0, U13=0) t1=C11j1, откуда имеем .

Собственные частичные ёмкости можно определять экспериментальным путём. Для этого достаточно после зарядки системы измерить t1 и по последней формуле вычислить С11. Ckm=-bkm называется взаимной частичной ёмкостью k-го и m-го проводников, она также является положительной, поскольку bkm<0. Экспериментально Ckm определяется также как bkm.

Для наглядной иллюстрации частичных ёмкостей приведем два примера. Это будут совокупности частичных ёмкостей двухпроводной линии и трёхпроводной ЛЭП (рис.11.27). Исходя из этих совокупностей могут быть определены рабочие ёмкости линий. Так для двухпроводной ЛЭП

Частичные ёмкости рассчитываются не только для электростатических полей, но используются и при расчете быстропротекающих процессов (например, в электронных лампах и транзисторах – это ёмкости между их электродами), а также при расчете устройств, в основу работы которых положено использование частичных ёмкостей (например, при ёмкостном отборе мощности от высоковольтной ЛЭП).

Третья группа формул Максвелла для системы заряженных тел любой формы. Однако приведенные выше формулы определения потенциальных коэффициентов справедливы только для ЛЭП. Если тела имеют другую форму, то и формулы будут иными. В случае, когда тела имеют сложную форму не удается вывести формулы для коэффициентов a и тогда ёмкостные коэффициенты определяют опытным путём.

 

 

Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде

 

Проводящей называется среда, содержащая свободные заряды. Если в такой среде создать электрическое поле с напряженностью Е, то на каждый из свободных зарядов q будет действовать сила Под действием этой силы свободные заряды начнут двигаться, причем упорядоченно. Упорядоченное же движение частиц, несущих на себе заряды, есть ток. Таким образом, в проводящей среде возникает ток, если в ней создано электрическое поле. Существует правда несколько видов тока и ток, протекающий по проводящей среде принято называть током проводимости. Следует упомянуть, что свободными зарядами являются электроны в металлах и ионы в жидкостях и газах. В процессе перемещения свободные заряды испытывают многочисленные столкновения с другими частицами тела, находящимися в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упорядоченное движение носителей зарядов и являются причиной сопротивления, оказываемого средой протеканию тока. Если бы этих столкновений не было, то не было бы и сопротивления, что имеет место в сверхпроводниках. Свойство среды, определяющее её способность проводить электрический ток характеризуется удельной проводимостью g. Она зависит от физических свойств проводящего материала и от температуры, а измеряется в См/м=1/Ом*м.

Основной величиной, характеризующей электрическое поле в проводящей среде (далее -поле в проводящей среде), является вектор плотности тока Его направление такое же как и вектора Е (понятно из физики явлений), величина определяется как в предположении, что элементарный ток Di перпендикулярен элементарной площадке Ds. Измеряется d в А/м2.

В теории поля в проводящей среде широко используется понятие тока I, представляющего собой поток вектора d : , где S - поверхность, через которую определяется ток. В случае, когда d=const и векторы d и ds совпадают по направлению, I=dS.

 

Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

 

Выделим мысленно из проводящей среды объём DV в виде цилиндра очень малых размеров (рис.11.28). Пусть его длина Dl, поперечное сечение Ds.

Расположим этот цилиндр так, чтобы его образующая совпадала с направлением векторов Е и d. В силу малости объёма DV можно считать, что векторы Е и d неизменны во всех его точках. Тогда ток, протекающий по телу цилиндра: где - единичный вектор, имеющий такое же направление как и векторы Е , d и Ds. Напряжение между основаниями цилиндра: Сопротивление цилиндрического объёма В соответствии с законом Ома в интегральной форме или или Это и есть закон Ома в дифференциальной форме. Это выражение называется дифференциальной формой закона полного тока по той причине, что даёт точечную характеристику поля: в конкретной точке связывает плотность тока и напряжённость поля. Это выражение справедливо для областей поля, не занятых источниками ЭДС. А в областях, занятых источниками, кроме «кулонова» (электростатического) поля, существует ещё так называемое стороннее электрическое поле. Действительно мы знаем, если в электростатическое поле внести проводник, то в нем произойдет перемещение свободных зарядов. Причем они переместятся настолько, что создаваемое ими поле полностью скомпенсирует внешнее поле. Для того чтобы в проводнике длительно протекал ток необходимо наличие электрического поля, силы которого непрерывно перемещали бы свободные заряды. Такое поле может быть создано и поддерживаться силами неэлектрического происхождения (термоэлектрическими, химическими и т.д.), Иными словами стороннее поле всегда связано с источником энергии, который преобразует какую-либо энергию в электричество. Напряженность стороннего поля Естор определяется как предел отношения силы, действующей на заряд, стремящийся к нулю, со стороны стороннего поля к величине этого заряда. Если в проводнике действуют одновременно и «кулоново» и стороннее поле, то напряженность результирующего поля будет . И тогда выражение закона Ома принимает вид Это выражение называется обобщенным законом Ома в дифференциальной форме или вторым законом Кирхгофа.

Если в проводящей среде выделить некоторый замкнутый объём, по которому протекает постоянный ток, то понятно, что ток, который войдет в объём, должен равняться току, вышедшему из него иначе в этом объёме происходило бы накопление или уменьшение электрических зарядов, что опытом не подтверждается. Иными словами сумма входящих и выходящих из объёма токов равна нулю, что математически записывается так Это соотношение останется справедливым, если взять предел отношения потока вектора d к стремящемуся к нулю объёму, ограниченному поверхностью интегрирования или . Это выражение называется первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Это уравнение говорит о том, что в любой точке поля в проводящей среде нет ни стока, ни истока линий вектора d, или линии вектора d являются линиями непрерывными, замкнутыми сами на себя. Поэтому данное уравнение называют ещё уравнением непрерывности линий вектора d.

Если по какому –либо проводнику с сопротивлением R протекает постоянный ток I, в нем выделяется мощность Р=I2R. Определим мощность, выделяющуюся в единице объёма проводящей среды В качестве объёма V возьмем цилиндр рис.11.28. В этом цилиндре . Его сопротивление и объём . Тогда Это и есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Мощность тепловых потерь в объёме конечных размеров может быть определена по формуле

Граничные условия в поле в проводящей среде

 

Выясним какие условия выполняются при переходе тока из среды с одной удельной проводимостью в среду с другой проводимостью. На границе, разделяющей две различные проводящие среды выполняются два условия, которые сформулируем одним предложением : для всех точек, являющихся общими для этих сред равны по величине тангенциальные составляющие вектора Е и нормальные составляющие вектора d. Для доказательства первого условия окружим любую точку, находящуюся на границе между средами, бесконечно малым (длина - dl) плоским (высота бесконечно мала по сравнению с длиной) контуром mnpq и составим выражение циркуляции вектора Е для этого контура (рис.11.29). Сторона mn находится в верхней среде и, если контур обходить по часовой стрелке, то составляющая циркуляции вдоль этой стороны .Аналогично для стороны pq, находящейся во второй среде . В последнем выражении минус стоит потому, что тангенциальная составляющая Е2t и вектор dl направлены в противоположные стороны. Составляющими циркуляции вектора Е вдоль сторон pm и nq можно пренебречь в силу малости этих сторон. Для потенциального поля, которым является и поле в проводящей среде, . Тогда или , что и требовалось доказать.

Для доказательства второго условия возьмем произвольную точку на границе и окружим её бесконечно малым плоским объёмом в виде параллелепипеда (рис.11.30) и применим к нему принцип непрерывности линий тока в интегральной форме . Через боковые грани потоком вектора d можно пренебречь из-за малости этих граней, а через верхнюю и нижнюю – соответственно и . Следовательно, или .

Определим связь между углами b1 и b2, которые по аналогии с оптикой получили названия углов падения и преломления. Из рис.11.30 вытекает: , так как и . Если ток переходит из среды с большой проводимостью g2 (металл) в среду с малой проводимостью g1 (допустим земля), то , т.е. . Иными словами в среде с малой проводимостью линии тока практически перпендикулярны к границе.

 

Аналогия между полем в проводящей среде и электростатическим полем

 

По своей природе электростатическое поле и поле постоянного тока в проводящей среде совершенно различны. Электростатическое поле создается неподвижными и неизменными во времени зарядами, а поле в проводящей среде – это поле зарядов, имеющих упорядоченное движение под действием внешнего источника. Тем не менее между этими двумя полями может быть проведена формальная аналогия, которая заключается в следующем.

1.Электростатическое поле в областях, не занятых зарядом, и поле в проводящей среде в областях, свободных от источников ЭДС, описываются одним и тем же уравнением – уравнением Лапласа. Для электростатического поля мы уже показывали, что . Покажем это для поля в проводящей среде, в котором , а Тогда Если среда однородна и изотропна, то g является постоянной величиной, ее можно вынести за знак дивергенции, которая и должна давать ноль, т.е. Поскольку поле в проводящей среде является потенциальным, то . Тогда или Это и есть уравнение Лапласа.

2. В каждом из этих полей могут быть найдены сходные величины, основные из которых указаны в табл.

Электростатическое поле j ea
Поле в проводящей среде j g

 

3. В этих полях выполняются одинаковые граничные условия для сходных величин: в электростатике Е1t2t и D1n=D2n, в проводящей среде Е1t2t и d1n=d2n.

Но если два поля удовлетворяют одному и тому же уравнению и в них выполняются одинаковые граничные условия для сходных величин, то поля тождественны, т.е. в них одинаковы совокупности силовых и эквипотенциальных линий при одинаковой форме граничных поверхностей. Эта формальная аналогия очень широко используется на практике. Так, если какое-либо электростатическое поле изучено, то все сведения о нем могут быть перенесены на геометрически подобное поле в проводящей среде. Справедлив, конечно, и обратный перенос. Эта аналогия лежит в основе моделирования одних полей другими (чаще всего электростатических полей – полем в проводящей среде). Указанная аналогия позволяет пользоваться формулами, полученными при расчете электростатических полей, и в случае поля в проводящей среде. В частности, формулы для проводимости между электродами, помещенными в проводящую среду, могут быть получены из формул ёмкости между такими же электродами в электростатическом поле. Покажем это. Если два электрода поместить в проводящую среду и подвести к ним питание от источника с напряжением U, то по всей проводящей среде потечет ток I (рис.11.31). Тогда проводимость среды между электродами будет Выразим U и I через напряженность поля. Ток определим, если охватим предположим первый электрод замкнутой поверхностью S. Тогда Так как то

В свою очередь в электростатическом поле с электродами такой же конфигурации и расположения (рис.11.32) ёмкость между ними определится по следующей формуле: , причем Для определения заряда q охватим снова первый электрод замкнутой поверхностью S. Тогда согласно теореме Гаусса в интегральной форме А

Сравнивая выражения для G и С, видим, что они отличаются тем, что в них g и eа меняются местами. Это соотношение можно записать так что говорит о том, что если в формуле ёмкости eа заменить на g, то получим формулу для определения G. Конечно возможен и обратный переход.

Рассмотрим конкретный пример. Изоляция коаксиального кабеля не бывает идеальной. Практически она обладает некоторой хотя и очень малой удельной проводимостью g. В связи с этим, если к кабелю подвести напряжение U, то по изоляции начнет замыкаться ток, получивший название тока утечки (рис.11.33). Этот ток можно определить по формуле I=UG, где G - проводимость изоляции между жилой и оболочкой кабеля. Ранее была выведена формула ёмкости коаксиального кабеля Тогда на основании аналогии

 

 

Расчет заземлителей

 

Для осуществления соединения каких-либо точек цепи с землей в неё зарывают металлические проводники, к которым и присоединяют соответствующие точки цепи. Система таких зарытых в землю проводников и называется заземлителем. Назначение заземлителей многообразное. Бывают рабочие заземления (трамвай), бывают защитные заземления и т. д. При коротких замыканиях (КЗ) и других авариях, а иногда и в нормальном режиме (трамвай) через заземлитель протекает ток, который растекается по земле и при этом встречает некоторое сопротивление, которое и называется сопротивлением заземлителя. Сопротивление заземлителя Rз (сопротивление всей земли растеканию тока) является его первой важной характеристикой. Второй важной характеристикой является шаговое напряжение Uш – разность потенциалов между двумя точками, расположенными на поверхности земли и отстоящими друг от друга на расстоянии шага человека. Поскольку при КЗ ток, протекающий по заземлителю может иметь большие значения, то он вдоль поверхности земли может создавать вблизи от места заземления шаговое напряжение, опасное для жизни человека. Известно много случаев гибели людей от шагового напряжения. Отсюда понятна важность умения его рассчитывать. При расчете заземлителей (Rз и Uш) принимаются некоторые допущения, главными из которых являются

1. Не учитывается сопротивление электродов, зарытых в землю.

2. В земле линии тока не уходят в бесконечность, а собираются у другого электрода. Это не учитывается поскольку мало сказывается на распределении тока вблизи рассматриваемого электрода, где плотность тока имеет наибольшее значение, и на величине соответствующего ему сопротивления заземлителя.

Рассмотрим конкретные примеры расчета заземлителей.

 

Заземлитель в виде шара, глубоко зарытого в землю

Пусть удельная проводимость земли равна g, а ток,.подходящий к заземлителю, равен I (рис.11.34). Если предположить, что подвод тока не искажает картину поля. то плотность тока в любой точке сферической поверхности S будет одинаковой по величине и равной . Напряжённость поля в этой точке будет а потенциал Если принять, что j=0 при r=µ и считать, что там же расположен электрод, собирающий ток, то потенциал рассматриваемого заземлителя будет , а его сопротивление Шаговое напряжение у такого заземлителя отсутствует из-за далёкого расположения поверхности земли.

 

Заземлитель в виде полушара, зарытого вровень с поверхностью земли

Растекание тока от такого заземлителя рис.11.35 будет происходить по радиальным линиям, в чем можно убедиться, если верхнее полупространство дополнить точно таким же заземлителем. Плотность тока в любой точке полусферической поверхности S будет одинаковой по величине и равной . Напряжённость поля в этой точке будет а потенциал Если принять, что j=0 при r=µ и считать, что там же расположен электрод, собирающий ток, то потенциал рассматриваемого заземлителя будет , а его сопротивление

Шаговое напряжение где lш - длина шага человека, которая в соответствии с Правилами Безопасности должна приниматься равной 0,8 м.

Заземлитель в виде шара, неглубоко зарытого в землю

Если заземлитель в виде шара расположен близко от поверхности земли (рис.11.36), то линии тока искажаются. Для учета этого искажающего влияния поверхности земли можно применить метод зеркальных изображений. Линии тока у поверхности земли должны быть к ней касательны (не содержать нормальных составляющих). Это условие будет выполнено, если верхнее полупространство мысленно заполнить проводящей средой с такой же как у земли удельной проводимостью и поместить в эту среду электрод, являющийся зеркальным изображением относительно поверхности земли действительного электрода. Ток, подходящий к мнимому электроду должен быть таким же по величине и знаку как и ток действительного электрода. Поле такого заземлителя можно определить методом наложения от действия фактического заземлителя и его зеркального изображения. Потенциал любой точки поля будет где j’ - составляющая, создаваемая фактическим шаром, а j’’ – составляющая, создаваемая фиктивным заземлителем. Определяются эти составляющие по формуле, выведенной в первом примере. Потенциал самого заземлителя в соответствии с этим будет а его сопротивление

Шаговое напряжение причем

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты