Непрерывность функции в точке и на промежутке.

Опр. Разность у₂-у₁= называют приращением переменной у. Если у=f(x), то = f(x+ )- f(x).

Опр. f(x) называют непрерывной в точке х_о, если беконечно малому приращению аргумента соответствует беконечно малое приращение функции.

Симолически это записывают так .

Это определение эквивалентно определению : f(x) называют непрерывной в точке х_о, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Симолически это записывают так =f(х_о). Часто используют и такую символику =f( ).

Из этих определений вытекает, что в точке непрерывности значение функции не бесконечно.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их области определения.

Доказательство проведем на примере одной функции, чтобы показать механизм такой проверки.

Пусть дана функция у=6х² . Область ее определения – все действительные числа. Возьмем фиксированное х. Вычислим значение функции в этой точке . Имеем f(x)=6х². Теперь дадим х приращение и вычислим значение функции в новой точке. Имеем f(x+ )=6(х+ )²=6(х²+2х + ²). Теперь найдем приращение функции при переходе от одной точки ко второй. Получаем f(x+ )- f(x)= 6(х²+2х + ²)- 6х²=12х + ² . При 0 получаем =0. А т.к. точку мы брали произвольно из области определения, то все доказанное справедливо в любой точке области определения. Что и требовалось.

Отметим простейшие свойства функций, непрерывных в точке.

Сумма, разность, произведение и частное конечного числа непрерывных в данной точке функций есть функция непрерывная в этой точке. За исключением случая, когда знаменатель дроби обращается в нуль в этой точке.

Сложная функция (суперпозиция) непрерывна в точке, если непрерывные еe составляющие.

Если у=f(x) непрерывна и монотонна в данной точке, то непрерывна и обратная к ней функция.

Отметим некоторые приемы исследования функций на непрерывность в подозрительной на разрыв точке. Подозрительными на разрыв точками будут точки, где происходит стыковка двух аналитических соотношений, определяющих данную функцию. В этих точках следует проверить выполнение равенства f(х_о+0)=f(х_о-0)=f(х_о) где – х_о подозрительная точка, а f(х_о+0)= - правосторонний предел функции в точке; аналогично f(х_о-0) – левосторонний предел. Если равенство нарушается в каком-либо месте, то говорят о разрыве функции в данной точке. При этом разрывы классифицируют: если равенство просто нарушено, но односторонние пределы конечные и функция имеет значение в точке, то разрыв относят к 1-му роду. В противном случае точка считается точкой разрыва 2-го рода.

В заключение сформулируем свойства функций, непрерывных на отрезке.

Опр. Если f(x) непрерывна в каждой точке отрезка, то говорят, что она непрерывна на отрезке.

Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем. (Т.е. ее значения не бесконечны).

Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. (Т.е. из всех ее значений можно указать наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю границы)

Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке и принимает на нем значения А и В, то хотя бы в одной точке этого отрезка она принимает любое значение между А и В.

Следствие. Если на концах отрезка функция имеет разные знаки, то внутри отрезка существует хотя бы одно точка, где функция обращается в нуль.

Эту точку называют корнем(нулем) функции. И это свойство используют для изоляции корней конечным отрезком во время приближенного решения уравнений.