Производные неявных функций

Ранее было введено понятие неявной функции одного аргумента в неявном виде, т.е. уравнением F(x;y)=0. Однако там же указывалось, что не всякое уравнение F(x;y)=0 определяет функцию y=f(x).

Теорема (достаточные условия существования неявной функции).

Пусть :

1. F(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки Мо(х_о;у_о);

2. В точке Мо(х_о;у_о) имеет место равенство F(х_о;у_о)=0,

3. В точке Мо F’_x(х_о;у_о) не равна нулю;

тогда:

a. В некотором прямоугольнике D уравнение F(x;y)=0 определяет однозначную y=f(x);

b. При х= х_о функция y=f(x) принимает значение у_о ;

c. На промежутке функция y=f(x) непрерывна и имеет производную, которую вычисляют по формуле y`= .

Доказательство опускаем. Получим только формулу для вычисления производной. Пусть в D имеет место F(x;y)=0 и потому dF=0. Но dF= F’_x(х;y)dх+F’_у(х;y)d у. И потому имеем y`= .

Комментарий. Следует заметить, что фактической функции y=f(x) можно и не получить вообще, т.к. не всякое уравнение F(x;y)=0 можно решить относительно у. И все же производную вычислить можно!

Обобщим полученное на неявную функцию трех переменных. Получим для задания функции в виде F(x;y;z)=0 формулы для частных производных: = и = , что легко получить либо по аналогии, либо из очевидного равенства dF=0 или F’_x(х;y;z)dх+F’_у(х;y;z)d у +F’_z(х;y;z)dz=0 откуда

dz= dx+( )dy , но dz= dx+ dy и потому верны записанные выше формулы для вычисления частных производных.

Используем производную неявной функции для получения характеристик градинта поля. Пусть дана z=f(x;y) . И пусть дана некоторая линия уровня z=C. Пусть Мо лежит на линии уровня. Тогда можно найти угловой коэффициент касательной к линии уровня в точке Мо, используя производную неявно заданной функции k= y`= . Однако нам известен по (5.3)

grad f(x;y)= f’_x(х;y) + f’_у(х;y) . Легко видеть, что градиент перпендикулярен касательной ,т.к. вектор касательной имеет координаты (-f’_у(х;y); f’_x(х;y) ). Скалярное их произведение равно нулю.

Т.о. градиент – это вектор, нормальный к линии (поверхности) уровня, проведенной через данную точку. Он указывает направление наибольшего увеличения поля.