Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Свойства производной




Функция y=f (x) называется дифференцируемой в точке х0 из области определения, если она имеет производную в этой точке. Если функция дифференцируема, то она непрерывна. Действительно, для существования предела, определяющего производную, необходимо, чтобы при , а это совпадает с определением непрерывности функции в точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Арифметические свойства. Производные суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующим формулами:

В самом деле,

.

Дифференцирование сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производных составляющих функций, т.е.

В самом деле,

Дифференцирование обратной функции. Пусть функция у=у(х) и обратная к ней х=х(у) непрерывны и дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда

Этим доказано, что производные взаимно обратных дифференцируемых функций взаимно обратны по величине:

 

Таблица производных

При вычислении производных даже несложных функций использовать определение производной достаточно сложно. Наиболее эффективный путь вычисления производных – использование заранее составленной таблицы производных наиболее применяемых в науке и практике функций.

Вычислим производные простейших элементарных функций.

1. Производная константы равна нулю. Действительно.

 

2. Производная степенной функции равна

Поскольку (х)' = 1, (х2)' = 2х, то можно предположить, что п)' = nxn-1. Докажем это равенство методом математической индукции. Последнее равенство верно, если при этом предположении выполняется

(xn+1)' =(n + 1) xn

Действительно,

п+1)' = (ххп)' = х'хп + х (хп)' = 1. хп + хпхп-1 = (п+ 1) хп.

Следовательно, (xn)' = nxn-1

 

3. Производная экспоненты равна самой этой функции

В самом деле,

Производная показательной функции сводится к производной экспоненты

х)' = (ех ln a)' = { } = ех ln a (x ln a)’ =

х ln a . ln a =ах ln a

 

4. Производная натурального логарифма равна обратной величине его аргумента

Ниже дан вывод этого равенства

 

5. Производная синуса равна косинусу того же аргумента

 

Пример. Вычислить производную косинуса через производную синуса.

 

Пример. Вычислить производную тангенса через производные синуса и косинуса.

 

Пример. Вычислить производную котангенса через производную тангенса.

 

Для завершения таблицы производных потребуется решить следующую задачу: найти связь производной функции с производной обратной функции.

 

6. Производная арксинуса вычисляется по формуле

Пусть у = arcsin x, тогда х = sin у. Тогда

(arcsin x)х' =

7. Производная арккосинуса. По аналогии получаем

(arcos x)' =

8. Производная арктангенса равна

В самом деле, пусть у = arctg х, тогда х = tg у.

(arctg х)х' =

9. Производная арккотангенса равна

(arcctg х)х' =

 

 

Таблица производных

N y y
1. C xn 0 nxn-1
2. ех ах ln x ех ах ln a
3. sin x cos x tg x ctg x arcsin x arcos x arctg х arcctg х cos x - sin x

Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 156; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты