Теорія подібності: основні поняття та визначення

У процесі вивчення природи застосовується два методи дослідження та опису фізичних явищ. Перший полягає в строго теоретичному розгляді проблеми на основі математичного виводу усіх її положень , опису геометричних і фізичних властивостей розглядаємої системи, а також умов її взаємодії з навколишнім середовищем, початкового стану системи ( умов однозначності).

При знаходженні результату диференціального рівняння можна отримати нескінченну множину розв'язків для цілого класу фізичних явищ, що відповідають рівнянню. Не завжди вдається отримати рішення, що задовольняло б диференціальному рівнянню та умовам однозначності.

Другий метод полягає в узагальненні експериментальних даних і отриманні математичних залежностей, що описують конкретні фізичні явища. При цьому математичні залежності, отримані в результаті вивчення одного явища, не завжди можна використати для опису іншого явища.

Суть теорії подібності полягає у використанні апарата математичної фізики, що дозволяє розглядати найбільш загальні властивості явища, характерні для всього класу явищ разом з методами експериментального вивчення одиничного явища.

Тут треба розрізняти наступну ієрархічну структуру: клас явищ – група явищ – одиничне явище (рис 7.1).

Явища, на які можливе поширення результатів одиничного досвіду, називається називаються групою явищ. Групу явищ можна отримати із класу, задавши відповідні умови однозначності. Якщо в ці умови підставити чисельні значення, отримаємо одиничне явище.

Велике значення мають методи фізичного моделювання, засновані на теорії аналогії та розмірностей, широке використання напівемпіричних методів та експериментальних даних, результати яких обробляються за допомогою теорії подібності.

Теорія подібності дозволяє результати окремих експериментів переносити на всі випадки розглянутого явища, якщо вони подібні, навіть коли властивості рідин, геометричні розміри й швидкості руху різні.

Якщо фізична подібність – це відповідність між фізичними явищами, що виражається в тотожності їх безрозмірних математичних описів, то теорія подібності – це вчення про подібність явищ (процесів), що встановлює методи проведення експериментів та обробки результатів.

Термін “подібність” запозичений з геометрії. Так, якщо відповідні кути трикутників рівні, а подібні сторони пропорційні, тобто l₁¢¢/ l₁¢ = l₂¢¢/ l₂¢= l₃¢¢/ l₃¢ = C_L, то дані трикутники подібні, а C_L – коефіцієнт пропорційності або коефіцієнт (число) геометричної подібності. Наведена вище умова – математичне формулювання геометричної подібності справедлива для будь-яких подібних відрізків подібних фігур (висот, медіан і т.д.). Знаючи умову подібності, можна вирішити цілий ряд практичних задач.

Поняття подібності може бути поширене на будь-які фізичні явища. Зокрема, якщо розглядати подібність руху двох потоків рідини, можна говорити про кінематичну подібність; якщо розглядати подібність сил, що викликають подібні рухи, – про динамічну подібність; і, нарешті, якщо розглядати подібність температур і теплових потоків, – про теплову подібність.

У загальному випадку застосування теорії подібності фізичних явищ правочинно при виконанні наступних основних положень:

Теорія подібності дозволяє результати окремих експериментів переносити на всі випадки розглянутого явища, якщо вони подібні, навіть коли властивості рідин, геометричні розміри й швидкості руху різні.

Якщо фізична подібність – це відповідність між фізичними явищами, що виражається в тотожності їх безрозмірних математичних описів, то теорія подібності – це вчення про подібність явищ (процесів), що встановлює методи проведення експериментів та обробки результатів.

Термін “подібність” запозичений з геометрії. Так, якщо відповідні кути трикутників рівні, а подібні сторони пропорційні, тобто l₁¢¢/ l₁¢ = l₂¢¢/ l₂¢= l₃¢¢/ l₃¢ = C_L, то дані трикутники подібні, а C_L – коефіцієнт пропорційності або коефіцієнт (число) геометричної подібності. Наведена вище умова – математичне формулювання геометричної подібності справедлива для будь-яких подібних відрізків подібних фігур (висот, медіан і т.д.). Знаючи умову подібності, можна вирішити цілий ряд практичних задач.

Поняття подібності може бути поширене на будь-які фізичні явища. Зокрема, якщо розглядати подібність руху двох потоків рідини, можна говорити про кінематичну подібність; якщо розглядати подібність сил, що викликають подібні рухи, – про динамічну подібність; і, нарешті, якщо розглядати подібність температур і теплових потоків, – про теплову подібність.

У загальному випадку застосування теорії подібності фізичних явищ правочинно при виконанні наступних основних положень:

а) поняття подібності може бути застосовано тільки до явищ того самого роду, які якісно однакові й описуються однаковими за формою та змістом диференціальними рівняннями й граничними умовами;

б) обов'язковою передумовою подібності фізичних явищ повинне бути геометрична подібність систем, де ці явища протікають, тобто подібні явища завжди протікають у геометрично подібних системах;

в) при аналізі подібних явищ зіставляти між собою можна тільки однорідні величини (такі, що мають однаковий фізичний зміст і розмірність) і подібні моменти часу(t¢ і t¢¢ – подібні моменти часу, якщо вони мають загальну точку відліку і зв'язані перетворенням подібності, тобто t¢¢=С_t t¢ );

г) нарешті, подібність двох фізичних явищ означає подібність всіх величин, що характеризують розглянуті явища. Тобто в подібних точках простору і в подібні моменти часу будь-яка величина j¢ першого явища пропорційна однорідній з нею величині другого явища, тобто j¢¢= С_j j¢.

Коефіцієнт пропорційності С_j – постійна (константа) подібності. Кожна фізична величина має свою константу подібності С_i – (i – фізична величина).

Таким чином, фізична подібність явищ означає подібність полів однойменних фізичних величин, що визначають ці явища. При розгляді складних процесів, які визначаються багатьма фізичними величинами, константи

подібність подібності цих величин не можна вибирати довільно. Обмеження при їхньому виборі знаходять, досліджуючи рівняння, яке описує процес. Тобто між константами подібність подібності завжди існують строго визначені співвідношення, які виводяться з математичного опису процесів, і встановлюють існування особливих величин і називаються інваріантами або критеріями подібності. Зокрема, розроблений цілий ряд критеріїв подібності, що характеризують явище переносу тепла між рідиною та стінкою.

Отже, критерії подібності – безрозмірні числа, складені з розмірних фізичних величин, що визначають розглянуті фізичні явища. Для подібності останніх необхідно, щоб вони мали ту саму фізичну природу, описувалися однаковими диференціальними рівняннями і мали подібні умови однозначності. Відносно використання до таких складних явищ як процес теплообміну подібність можлива, якщо критерії зберігають те саме значення, тобто співвідношення між ефектами, що визначають розвиток процесу, будуть однакові.

Щоб використати теорію подібності, треба мати математичний опис явища, наприклад, у вигляді диференціальних рівнянь, з яких можна одержати критерії подібності. Числа подібності, складені з величин, заданих при математичному описі процесу, – визначальні критерії подібності. Числа подібності, що містять обумовлену величину, – обумовлені безрозмірні комплекси. Їх прийнято позначати першими буквами прізвищ видатних учених, які зробили істотний внесок у вивчення процесів теплопереносу та гідродинаміки, і називати на честь цих учених, наприклад: Re – критерій (число) Рейнольдса (1842 -1912 р.р.), Nu – критерій Нуссельта (1887 ‑ 1957 р.р.), Pr – критерій Прандтля (1875 ‑ 1953 р.р.) і т.д.

Кожний із критеріїв подібності має певний фізичний зміст і відповідає певному диференціальному рівнянню. Таким чином, фізичний зміст критеріїв подоби зв'язаний, зокрема, з фізичною сутністю рівнянь, що описують розглядаємі фізичні явища.

Один з критеріїв подібності ми вже згадували – це критерій Рейнольдса Re, що характеризує співвідношення між інерційними силами та силами внутрішнього тертя. Інакше його називають критерієм кінематичної подібності. Тобто, Критерій Рейнольдса є основною характеристикою, що визначає найбільш важливі властивості течії рідини. Як було зазначено раніше, при Re £ 2300 ламінарна течія рідини стійка і всякі випадково виникаючі збурення потоку загасають. При 2300 < Re £ 10000 – ламінарна течія нестійка й під впливом збурень переходить у турбулентну. І, нарешті, при течія рідини набуває стійкого турбулентного характеру.

Контрольні зазапитання

1. Назвіть і дайте визначення основних видів теплообміну. У чому їх принципова відмінність.

2. Основні характеристики теплопровідності.

3. Рівняння Фур'є. Теплоізоляційні властивості матеріалів.

4. Що таке умови однозначності, прямі й зворотні задачі теплопровідності?

5. Наведіть основні рівняння стаціонарної теплопровідності для плоскої і циліндричної стінок.

6. Поясніть причини вимушеної і природної конвекції.

7. Що таке турбулентний і ламінарний режими руху робочого тіла?

8. Які поняття і визначення лежать в основі теорії подібності?

9. Що таке тепловіддача, теплопередача й складний теплообмін?

.