Задача для самостоятельной подготовки студентов.

8.1 Задача для самостоятельного изучения материала с темы.

8.1.1. Практическое применение дифференциальных уравнений для решения медико-биологических задач.

Задача 1.

Увеличение массы m клетки при ее росте описывается уравнением Шмальгаузена и Бордзиловської

где a - стала, пропорциональная площади поверхности клетки, характеризует процессы синтеза, а b - стала, пропорциональная объему, характеризует процессы, противодействующие синтезу.

Определите временную зависимость массы клетки.

Решение.

Разделяя сменные в уравнении Шмальгаузена и Бордзиловської, получим

.

Інтегруюємо обе части уравнения

Интеграл справа

вычисляем методом замены сменной

Вторая замена сменной

дает

.

Общее решение имеет вид

.

Поэтому, потенцируя, получим

,

то есть

.

Определим постоянную интегрирование С, соответствующую уму

при

,

Найдем частинний решение, подставляя найденное значение постоянной интегрирование в общее решение,

.

итак, зависимость массы клетки от времени определяется по формуле

.

Это частинний решение есть искомым відповідю.

При больших значениях показателя экспоненты

Это означает, что спустя некоторое время наступает равновесие между процессами синтеза и распада, при этом достигается конечная масса клетки.

Задача 2.

Сток крови к периферии во время диастолы описывается в пределах модели кровеносної системы, предложенной О.Франко, дифференциальным уравнением

.

где k - эластичность стенок сосудов, p - давка крови, X - гидравлическое сопротивление периферической части кровеносної системы, t - время.

Определить зависимость давки от времени после систолы.

Решение.

Разделим сменные в дифференциальном уравнении

.

Интегрируя, получим

,

, .

Момент времени t = 0 отвечает концу систолы, поэтому соответствующая давка есть систоличним в момент завершения систолы - . С учетом этого обстоятельства искомое решение имеет вид

.

Эта функция хорошо описывает зависимость давки от времени в конце диастолы.

Задача 3.

Скорость роста популяции бактерий в момент времени t ( в часах ) равняется размеру популяции x, разделенному на 5.

Опишите этот процесс дифференциальным уравнением и найдите за-лежність размера популяции бактерий от времени.

Решение.

Согласно условию, запишем

Разделим сменные в дифференциальном уравнении

.

Интегрируем обе части уравнения

,

.

Потенцируем

.

Исходный размер популяции отвечает моменту времени t = 0. Поэтому начальное условие имеет вид

.

Определим постоянную интегрирование С, соответствующую этому условию:

.

Найдем отдельное решение, подставляя найденное значение постоянной интегрирование в общее решение,

.

Это отдельное решение есть искомым відповідю.

Задача 4.

В эксперименте с голоданием масса m испробованного за 10 дней уменьшилась с 66 до 60 кг. Ежедневные потери массы, согласно наблюдением, были пропорциональные массе испробованного.

Определить массу испробованного через 5 дней в этом эксперименте.

Решение.

Сложим дифференциальное уравнение. Согласно уму задачи потеря в массе dm пропорциональная массе m тела испробованного, поняло также, что потеря в массе dm пропорциональная интервалу времени dt, на протяжении которого она произошла. Вводя коэффициент пропорциональности a, запишем, исходя из всего сказанного, такое уравнение

- dm = amdt.

Разделим сменные в дифференциальном уравнении

.

Интегрируем обе части уравнения

,

.

Потенцируя, получим

.

Момент времени t = 0 отвечает началу эксперимента, когда масса испробованного согласно уму равняется 66 кг. Поэтому начальное условие имеет вид m(0) = 66.

Определим постоянную интегрирование С, соответствующую этому условию:

.

Найдем частинний решение, подставляя найденное значение постоянной интегрирование в общее решение,

.

Значение коэффициента a мы получим, используя информацию о том, что 10 дней позднее после начала эксперимента масса испробованного сложила 60 кг, то есть, что

m(10) = 60.

Подставим t = 10 и m = 60 в общее решение

.

Из этого уравнения легко определить искомый коэффициент

10a = ln1,1 a = 0,1ln1,1 .

Подставляя значение коэффициента a в частинний решение, получим искомую зависимость массы испробованного от времени

.

С помощью этой формулы можно определить, почему равняется масса испробованного в любой момент времени на протяжении всего эксперимента. Например, через 5 дней масса равняется

.

Задача 5.

В регион занесено инфекционное заболевание. Частное людей p, что перенесли заболевание за t лет, описывается дифференциальным уравнением

.

За сколько лет число перехворівших достигнет 90%?

Решение.

Разделим сменные в дифференциальном уравнении

.

Интегрируем обе части уравнения

.

Интеграл, который стоит в левой части равенства, вычислим с помощью подстановки

z = 1 - p dz = - dp

Получим

.

Общее решение имеет вид

.

Потенцируя, получим

,

При t = 0 захворівших не было, поэтому начальное условие имеет вид

p(0) = 0.

Определим постоянную интегрирование С, соответствующую этому условию,

0 = 1 - C, C = 1.

Найдем частинний решение, подставляя найденное значение постоянной интегрирование в общее решение,

.

Чтобы определить, за сколько лет частное перехворівших достигнет 90 процентов, подставим в эту формулу p = 0,9 и вычислим какому значению t отвечает это значение p.

, , , .

Итак, за 4, 6 года переболеет 90% население.

Задача 6.

В модели эпидемий один зараженный индивидуум вводится в сообщество, которое составляется с n индивидуумов, восприимчивых к данному заболеванию. Пусть численность незараженных индивидуумов равняется x(t). Известно, что уменьшение x(t) описывается дифференциальным уравнением

dx = - rx(n + 1 - x)dt,

где r - частота контактов между членами сообщества, от которой зависит скорость распространения инфекции.

Найдите решение этого дифференциального уравнения.

Решение.

Разделим сменные в дифференциальном уравнении

.

Интегрируем обе части уравнения

.

Интеграл в левой части равенства можно высчитать, взяв к

внимания, которое

Подставляя это расписание в интеграл, получим

.

Второй интеграл исчисляется подстановкой

z = n + 1 - x, dz = - dx.

Объединяя эти результаты, имеем

.

Общее решение имеет вид

.

Потенцируя, получим

, .

Перед началом эпидемии число восприимчивых равняется числу людей в сообществе, то есть

x(0) = n.

С учетом этого начального условия определим постоянную интегрирование

, .

Найдем частинний решение, подставляя найденное значение постоянной интегрирование в общее решение,

.

На практике во время эпидемии регистрируется обычно число новых случаев заболевания, которые появляются через сутки или за неделю. Поэтому удобнее рассматривать динамику роста числа новых случаев, которое описывается формулой

.

График этой функії называется эпидемической кривой. Эта кривая сначала растет, достигает максимума при

и дальше уменьшается к нулю. Таким образом, эпидемическая кривая описывает характерное свойство эпидемий: число новых случаев сначала быстро возрастает, в какой-либо момент времени достигает максимума, а потом уменьшается к нулю.

8.1.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Если пищевой ресурс хранится не смотря на рост численности популяции, то, как показал Мальтус, этот рост описывается дифференциальным уравнением

,

где x - численность популяции в момент времени t , k - стала.

Получить общее решение уравнения Мальтуса.

2. Решить уравнение Ферхюльста, что описывает рост численности очень больших популяций,

,

где k и l -постоянные.

3. Выцветание зрительного пурпура под действием света принадлежит к числу простых фотохимических реакций. На протяжении первых 0,01 - 0,1 с кинетика такой реакции описывается уравнением

.

где R - концентрация родопсина, t - время, отчисленное от момента включения света, k - константа скорости реакции, a - частное падающего света, восхищенный родопсином, I - интенсивность падающего света.

Получить общее решение.

4. Зависимость скорости v течения крови в артерии от расстояния r от оси артерии описывается уравнением

,

где и - давки на концах участки артерии, h - вязкость крови, l - длина участки артерии.

Получить общее решение.

5. Зависимость заряда q , что проходит через биологическую ткань с сопротивлением R и емкостью C , при размыкании круга описывается уравнением

.

Получить общее решение.

6. Ослабление вследствие поглощения интенсивности света di, что проходит через пласта раствора биологической жидкости толщиной dx, описывается законом Бугера

di = - kidx,

где k - натуральный показатель.

Найти интегральную форму закона Бугера.

7. Уменьшение концентрации dn молекул, вступаючих в фотохимическую реакцию под действием света, описывается формулой

,

где - интенсивность падающего света, - площадь эффективного сечения молекул для фотохимического преобразования.

Найти зависимость концентрации молекул, вступаючих в фотохимическую реакцию, от времени.

8.1.3. Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Обычные дифференциальные уравнения.

3. Порядок дифференциального уравнения.

4. Общее решение дифференциального уравнения.

5. Отдельное решение дифференциального уравнения.

6. Дифференциальные уравнения с розділяючимися сменными.

7. Дифференциальные уравнения у частинних производных.

Основная литература

1. Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.

2. Жуматій П.Г. “Дифференциальные уравнения”. Одесса, 2009.

3. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.

4. Чалый О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медицинская и биологическая физика. Киев, 2004.

Дополнительная литература

1. Ремізов О.M. Медицинская и биологическая физика. М., “Высшая школа”, 1999.

2. Ремізов О.M., Ісакова Н.Х., Максіна О.Г.. Сборник задач из медицинской и биологической физики. М., .,“Высшая школа”, 1987.

Методические указания сложилдоц. П.Г.Жуматій.