Решение. Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x 0)

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x ⁰). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x ³ + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x ² + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1 ² – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x ² + x + 3):
(2.1) .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x ²:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3. Интегрируем.
(2.2) .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I₂.


.
Поскольку уравнение x ² + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x ² + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

.