ФИЗИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеаль­ной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового рас­хода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода зна­чения работы сил, приложенных к выделенному объему струй­ки, и значения кинетической энергии этого объема были по­делены на величину ρqΔT.

Отсюда становится ясным, что поскольку член υ²/2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жид­кости, то сумма членов gZ +P/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gZэто очевидно. Дей­ствительно, если частица жидкости массы т рас­положена на высоте Zотносительно некоторой плоскости и находится под действием сил тя­жести, то способность ее совершить работу, т. е. ее потенциальная энергия относительно этой плос­кости, равняется тgZ; будучи же поделена на массу частиц т, эта часть потенциальной энергии, называемая удельной потенциальной энергией положения, даст величину gZ. Для получения более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется и величиной P/ρ, рас­смотрим следующую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением P, присоединен пьезометр, снабженный при входе в него краном (рис. 31); кран сначала закрыт, т. е. пьезометр свободен от жидкости и элементарный кольцевой объем жидкости ΔV массы ρΔV перед краном находится под давле­нием P. Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре под­нимется на некоторую высоту, равную, как это было установлено ранее, Работа сил тяжести при этом перемещении объема ΔV A_т = -ρgΔVh_п настолько же возрастет и его потенциальная энергия.

Потенциальная же энергия единицы массы жидкости увели­чится на величину

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением Р, как бы несет в себе еще «заряд» потенциальной энергии, опреде­ляемый величиной удельной энергии давления Р/ρ. В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно пользуются понятием напора, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не массы, как это было сделано ранее при выводе уравнения Бернулли (стр. 71).

В соответствии с этим вместо уравнения (3.13) получим

[84]

- уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобной для гидравлических рас­четов.

Аналогично предыдущему будем различать: полный напор геометрический напор Z, пьезометрический напор P/ρgскорост­ной напор υ² /2g. При этом уравнение Бернулли (3.14) может быть сформулиро­вано так: для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т. е. сумма геометрического, пьезометрического и скорост­ного напоров, есть величина постоянная во всех ее сечениях.

Нетрудно показать, что между напором и удельной энергией существует следующая простая зависимость: H = э/g [85]

Напор измеряется единицами длины. Действительно, величи­ной г измеряется вертикальная координата центра тяжести сече­ния струйки, единица измерения р/ρg =h — линейная (например, в технической системе единиц - м

[]

ница измерения величины также линейная (в технической

— м ). Это дает возможность просто строить графики уравнения Бернулли: по оси абсцисс откладывают рас­стояния по оси струйки от некоторого сечения, принимаемого за начальное, а по оси ординат — значения составляющих напора для ряда сечений струйки.

В дальнейшем мы будем обозначать полный напор буквой Н. В соответствии с уравнением [81] изменение полного напора вдоль струйки при движении идеальной жидкости изображается горизонтальной прямой (Н = соnst).

Предположим, что элементарная струйка, произвольно рас­положенная в пространстве, несет расход жидкости q; тогда ско­ростной напор в любом сечении струйки будет

ΔF – площадь сечения струйки

Пусть напор относительно некоторой плоскости сравнения есть Н₁ и ордината Zоси струйки задана положением плоскости сравнения. В этом случае могут быть вычислены также значения пьезометрического напора в любом сечении струйки

[86]

Аналогично этому, в случае если заданы положение плоскости сравнения, напор Н₁ и значения пьезометрического напора для ряда сечений струйки, могут быть вычислены значения скорост­ного напора в этих сечениях

и, следовательно, значения скорости υ.

Подчеркнем, что в выра­жениях (3.16) и (3.17) поло­жение плоскости сравнения не оказывает влияния на зна­чения величин Р / ρg и υ² / 2g , поскольку изменения поло­жения этой плоскости в рав­ной мере изменяют как вели­чину H₁ так и величину Z;

разность же Н₁ — Zпри этом не меняется (сказанное наглядно пояс­няет, что плоскость сравнения может назначаться произвольно). Вычисляя в одном случае по уравнению (3.16) значения Р / ρg или в другом случае по уравнению (3.17) значения υ² / 2g , можно пред­ставить на

Рис. 32

одном графике изменения по длине струйки значений всех составляющих

(Z, Р / ρg , υ² / 2g) полного напора Н. Такой график мы будем называть в дальнейшем графиком уравнения Бернулли. Подобный график изображен на рис. 55.

Кривая аа на этом графике называется пьезометрической ли­нией; она изображает изменение суммы геометрического и пьезо­метрического напоров (Z + Р / ρg ) по длине струйки и является, таким образом, характеристикой изменения ее удельной потен­циальной энергии.

Изменение этой энергии, отнесенное к единице длины, носит название пьезометрического уклона и обозначается через i_п; зна­чение пьезометрического уклона для некоторого сечения струйки определяется выражением

при и dL, стремящемся к нулю, где dL, — длина элементарного участка струйки, включающего рассматриваемое сечение.

Выражение

определяет среднее значение пьезометрического уклона на участке между сечениями 1-1 и 2-2 длиною L_1-2.