Касательные напряжения в турбулентном потоке

При исследовании закономерностей турбулентного течения в трубах целесообразно исходить из выражений для касательных напряжений. Их природа в турбулентном потоке более сложна, чем в ламинарном. Это связано с тем, что в процессе турбулентного перемешивания массы жидкости из центральной части трубы могут попасть в область потока у стенок и наоборот.

Массы жидкости, перемещающиеся из центральной части трубы к периферийной, обладают большими продольными скоростями, чем двигающиеся в обратном направлении. Такой обмен массами жидкости, имеющими разные скорости, приводит к соответствующему обмену количеством движения.

Рассмотрим простейший случай плоскопараллельного осредненного турбулентного потока (рис. 6.14). В целях упрощения записи формул введем следующие обозначения:

; ,

где и - пульсации скоростей соответственно по осям x и y.

Так как поток принят плоскопараллельным, то, очевидно, .

Покажем, что в таком потоке будет возникать дополнительное касательное инерционное напряжение, равное

,

где – осредненное значение произведения пульсаций скорости

.

Рассмотрим два соседних слоя жидкости, разделенных площадкой Dw. Пусть вблизи верхней поверхности площадки имеют место пульсации скоростей и . В этом случае можно сказать, что верхний слой жидкости движется относительно нижнего с какой - то относительной скоростью .

Рис. 6.14

Под действием вертикальной пульсации скорости через площадку Dw за время Dt протечет масса жидкости

.

В верхнем слое эта масса получит ускорение в направлении оси x. При ускорении этой массы верхним слоем на нижнюю часть последнего будет действовать сила инерции, направленная в сторону, обратную ускорению, т.е. жидкость, поступающая из нижнего слоя в верхний, будет затормаживать его. Этот эффект торможения равносилен приложению к верхнему слою на поверхности раздела слоев по площадке Dw некоторой касательной силы инерции DT, направленной противоположно движению или касательного напряжения t (на нижний слой по III закону Ньютона будет действовать напряжение t в сторону движения). Касательную силу DT легко подсчитать.

Изменение количества движения жидкости, перешедшей из нижнего слоя в верхний, будет

.

Это изменение количества движения равно импульсу касательной силы DT, т.е.

.

Знак «минус» поставлен потому, что сила инерции всегда направлена против ускорения.

Учитывая, что

,

получим

или осредненное за период T

.

Это и есть выражение для турбулентного касательного напряжения в функции от пульсационных скоростей.

Полное напряжение в турбулентном потоке будет определяться по формуле

, (6.11)

где - касательное напряжение, от действия сил вязкости;

- напряжение, обусловленное турбулентным перемешиванием.

При ламинарном движении перемешивания не происходит и в формуле (6.11) .