НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Det: Если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что

lim f(x₀ − δ) = lim f(x₀ + δ) = A, где A ≠ ∞ (1),

δ —> 0 δ —> 0

то говорят, что функция f(x) непрерывна в точке x₀.

При нарушении условия (1) говорят, что имеет место разрыв функции f(x) в точке x₀. Если

lim f(x₀ − δ) = A, lim f(x₀ + δ) = В, где А ≠ ∞, В ≠ ∞,

δ —> 0 δ —> 0

то говорят, что имеет место разрыв Ι рода, причём в случае А = В такой разрыв Ι рода называется устранимым, а в случае А ≠ В – неустранимым.

В случае, когда хотя бы один из односторонних пределов

lim f(x₀ − δ), lim f(x₀ + δ)

δ —> 0 δ —> 0

равен бесконечности, говорят о разрыве ΙΙ рода в точке х₀.

Det: Если условие (1) непрерывности в точке выполняется в каждой точке промежутка (а;в), то говорят, что что функция f(x) непрерывна на промежутке (а;в).

z.B. 1. Функция f(x) = Sin (πx +π⁄3) является непрерывной на промежутке х с R.

2. Функция f(x) = х ⁄ |x| имеет в точке х = 0 неустранимый разрыв Ι рода.

3. Функция f(x) = х² ⁄ |x²| имеет в точке х = 0 устранимый разрыв Ι рода, поскольку при следующем её определении, сводящемся к дополнительному определению функции в точке х =0, она становится непрерывной как в этой точке, так и на всём множестве действительных чисел:

х² ⁄ |x²|, если х ≠ 0,

f(x) =

1, если х = 0.

4. Функция f(x) = е^1⁄х имеет в точке х₀ = 0 разрыв ΙΙ рода, поскольку её односторонние пределы в точке х₀ = 0 равны:

lim f(x₀ − |δ|) = 0 и lim f(x₀ + |δ|) = ∞

δ —> 0 δ —> 0

Отметим следующий важный факт: если мы рассматриваем разрывную функцию на промежутке, не включающем в себя точки разрыва, то функция на таком промежутке ведёт себя «благопристойно», то есть является непрерывной!

z.B. Функция f(x) = 1 ⁄x, являясь разрывной в точке х₀ = 0, на любом промежутке, не включающем точку х₀ =0, может рассматриваться как непрерывная функция.