ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Det: Пусть f(t) – функция аргумента t, непрерывная на промежутке (a,b).

Производной функции f(t) в точке, принадлежащей промежутку (а,b), называется предел отношения бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента:

f ^’(t₀) =lim((f(t₀ +Δt) – f(t₀)) ⁄((t₀ +Δt) – t₀))

Δt —> 0

NB! Следует хорошо запомнить, что производная функции в определённой точке есть число!

Однако, пока что нас больше будет интересовать не число – конкретное значение производной функции при некотором, выбранном более или менее произвольно, значении аргумента, – а вид производной как функции. Поэтому для производной – функции, получаемой нами из непрерывной на промежутке (a,b) функции f(t), следует дать такое определение:

Det: Пусть f(t) – функция аргумента t, непрерывная на промежутке (a,b).

Производной f ^’(t) функции f(t) называется предел отношения бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента:

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t))

Δt —> 0

Для лучшего понимания “механизма” дифференцирования функций рассмотрим пример вычисления производной в соответствии с вышеприведённым определением для степенной функции вида

f(t) = (t)ⁿ,

где t - вещественный аргумент,

а n – целое неотрицательное число.

Начнём с показателя степени, равного нулю:

f(t) = (t)⁰ , тогда f(t +Δt) =(t +Δt)⁰ и, учитывая, что (t)⁰ = (t +Δt)⁰ = 1, получим

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t)) =lim((t +Δt)⁰ – (t)⁰) ⁄((t +Δt) – t)) =lim(1 – 1 ) ⁄Δt = 0.

Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0

Продолжим для показателя степени n = 1:

f(t) = (t)¹ = t , тогда f(t +Δt) =(t +Δt)¹ = t +Δt и получаем

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t)) =lim(t +Δt – t) ⁄((t +Δt) – t)) =lim(Δt) ⁄(Δt) = 1.

Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0

Развиваем умение дифференцировать функции для показателя степени n = 2:

f(t) = (t)² = t² , тогда f(t +Δt) =(t +Δt)² = t² +2tΔt +(Δt)² и получаем

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t)) =lim(t² +2tΔt +(Δt)² – t²) ⁄((t +Δt) – t)) =

Δt —> 0 Δt —> 0

= lim(2tΔt +(Δt)²) ⁄Δt = lim(2tΔt ⁄Δt) + lim((Δt)² ⁄Δt) = 2t^.lim(Δt ⁄Δt) + lim(Δt) = 2t + 0 = 2t.

Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0

Стараясь превратить умение в навык, предлагаем учащимся самостоятельно рассчитать производную сначала для показателя степени n = 3, а затем для n = 4. При расчёте производных для более высоких значений показателей степени следует вместе с учащимися «открыть» бином Ньютона, предварительно опросив учеников о свойствах степеней, которые весьма пригодятся:

a ≠ 0, b ≠ 0, тогда a⁰ = 1, b⁰ =1, a = a¹, b = b¹. (А)

Запишем известные формулы сокращённого умножения и свойства степеней:

(a + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Для того, чтобы бином Ньютона был «открыт» самими учащимися, следует переписать формулы, учитывая свойства (А):

(a + b)⁰ = 1a⁰b⁰

(a + b)¹ = 1a¹b⁰ + 1a⁰b¹

(a + b)² = 1a²b⁰ + 2a¹b¹ + 1a⁰b²

(a + b)³ = 1a³b⁰ +3a²b¹ + 3a¹b² + 1a⁰b³

Внимательно присмотревшись к структуре левой части, увидев соответствие в показателях степеней правой и левой частей, а также в количестве слагаемых левой части и показателя степени правой части, учащиеся легко запишут для четвёртой степени суммы сначала основы слагаемых:

(a + b)⁴ = ab + ab + ab + ab + ab,

затем легко расставят степени сомножителя b:

(a + b)⁴ = ab⁰ + ab¹ + ab² + ab³ + ab⁴,

сделают то же и для сомножителя а:

(a + b)⁴ = a⁴b⁰ + a³b¹ + a²b² + a¹b³ + a⁰b⁴ ,

и, наконец, расставят коэффициенты при слагаемых, испытав только затруднение в выборе коэффициента при слагаемом a²b² :

(a + b)⁴ = 1a⁴b⁰ + 4a³b¹ + ?a²b² + 4a¹b³ + 1a⁰b⁴.

Помощь в выборе коэффициента следует получить из треугольника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 ? 4 1

Наблюдательные м сообразительные будут рассматривать не большой “прямой” треугольник, а малые “перевёрнутые” треугольники и назовут верное значение коэффициента: ? = 6. В итоге учащиеся самостоятельно придут к выводу, что

(a + b)⁴ = 1a⁴b⁰ + 4a³b¹ + 6a²b² + 4a¹b³ + 1a⁰b⁴.

Очевидно, разложение более высоких степеней достигнется без особого напряжения.

Проделав самостоятельно работу по расчёту производной степенной функции, учащиеся легко сделают следующий вывод:

если f(t) = tⁿ, то f ^’(t) =nt^n-1 ,

с чем их обязательно нужно поздравить!

Действительно, данный результат получен ими осмысленно, с применением понятия предела, и отнюдь не похож на «шаманские» заклинания по поводу того, что для степенной функции производная получается, если показатель степени поставить перед аргументом, а саму степень уменьшить на единицу и бла-бла-бла...

Следующим шагом будет получение производной гармонической функции:

если f(t) = Sin(t), то f(t + Δt) = Sin(t + Δt) = Sin(t)ŸCos(Δt) +Cos(t)ŸSin(Δt)

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t)) =lim((Sin(t)ŸCos(Δt) +Cos(t)ŸSin(Δt)– Sin(t)) ⁄Δt) =

Δt —> 0 Δt —> 0

= lim((Sin(t)Ÿ(Cos(Δt) – 1)) ⁄Δt) + lim(Cos(t)ŸSin(Δt)/Δt) = Sin(t)Ÿlim(Cos(Δt) – 1) ⁄Δt) +

Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0

= Cos(t)Ÿlim(Sin(Δt)/Δt) = Sin(t)Ÿlim((Cos(Δt) – 1)ŸΔt) ⁄(Δt)²) + Cos(t)Ÿlim(Sin(Δt)/Δt) = Δt —> 0 Δt —> 0 Δt —> 0

= Sin(t)Ÿ0 + Cos(t)Ÿ1 = Cos(t).

Руководствуясь вышеприведённым примером, учащиеся смогут самостоятельно рассчитать производную функции f(t) = Cos(t).

Воодушевлённым успехом ученикам можно предложить самостоятельно рассчитать производную функции f(t) =e^t, предварительно обратив их внимание на следующее свойство степени: e^t+Δt = e^tŸ e^Δt. Затем можно развить успех, предложив рассчитать производные функций f(t) = a^t, f(t) = ln(t) и f(t) = log_a(t). Можно немного помочь в расчётах, подсказав вариант разложения логарифма суммы в сумму логарифмов:

ln(t +Δt) = ln(t(1 + Δt/t)) = ln(t) + ln(1 + Δt/t),

что сделает расчёт производной очевидным:

f ^’(t) =lim((f(t +Δt) – f(t)) ⁄((t +Δt) – t)) = lim (ln(t) + ln(1 + Δt/t) − ln(t)) ⁄((t +Δt) – t) =

Δt —> 0 Δt —> 0

= lim ( ln(1 + Δt/t) ⁄Δt ) = lim ( ln(1 + Δt/t) ⁄ (tŸ (Δt ⁄ t)) = (1⁄ t)Ÿlim ( ln(1 + Δt/t) ⁄ (Δt ⁄ t)) = 1⁄ t

Δt —> 0 Δt —> 0

Таким образом, после расчёта производных основных элементарных функций, произведённого собственными руками, учащиеся более основательно усвоят смысл дифференцирования как расчёта предела функции в фиксированной или произвольно выбранной точке.

Полезно для дальнейшего использования составить таблицу производных элементарных функций, которую можно будет постепенно дополнять.

ТАБЛИЦА II. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ