Семиотика - научная дисциплина, изучающая производство, строение и функционирование различных знаковых систем, хранящих и передающих информацию.

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, а также один тип логических символов – пропозициональные связки.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Данный уровень анализа логических форм предполагает, во-первых, наличие в формализованном языке нелогических символов только одного типа – параметров, которыми могут замещаться простые высказывания естественного языка. Эти параметры называются пропозициональными переменными и употребляются в качестве них символы – p,q,r,s, p₁…

Во-вторых, все логические символы этого формализованного языка также принадлежат к одной категории, они образуют из одной или нескольких формул новую формулу, а их прототипы в естественном языке, например «и», «или», «если…то», являются терминами, образующими из одних высказываний другие, более сложные. Логические символы указанного типа называются пропозициональными связками.

Неверно, что – отрицание, инверсия

И – конъюнкция.

Или – дизъюнкция, строгая дизъюнкция.

Если…то – импликация.

Тождественно, эквивалентно – эквивалентность.

Технические символы: ( , ).

Итого, основные семантические категории это: пропозициональные переменные, пропозициональные связки и технические символы.

Синтаксис логики высказываний определяется следующими четырьмя пунктами:

1. Всякая пропозициональная переменная является правильно построенной формулой (ППФ).

2. Если А – ППФ, то ⌐А также является ППФ.

3. Если А и В являются ППФ, то выражения (А&В), (АvВ), (A→B), (A≡B) также являются ППФ.

4. Ничто иное не является ППФ.

Формулы, указные в пункте первом данного определении, называют элементарными, а в пунктах втором и третьем – сложными.

Пользуясь определением формулы, можно для любого выражения языка в конечно число шагов решить вопрос о том, является оно формулой или нет.

Билет № 10

Каждому набору истинностных значений элементарных высказываний, входящих в некоторую формулу, соответствует истинностное значение этой формулы, получаемое после выполнения всех операций согласно определяющим эти операции истинностным таблицам.

Для всякой формулы логики высказываний можно построить таблицу истинности. Она состоит из строк и столбцов. Каждому варианту задания истинностных значений входящих в формулу пропозициональных букв соответствует отдельная строка таблицы истинности. Для каждой входящей в формулу пропозициональной буквы в таблице истинности имеется свой столбец. Последний столбец содержит истинностные значения всей формулы для каждого набора истинностных значений входящих в нее пропозициональных букв.

Пример. Таблица истинности для формулы Ú (в ней дважды опущена пропозициональная связка &) выглядит следующим образом:

			Ú
	И	И	Л
	И	Л	И
	Л	И	И
	Л	Л	Л

Даже для такой короткой формулы, видимо, не совсем понятно, как получены значения в последнем столбце. Что ж тогда говорить о более сложных формулах? Поэтому для облегчения построения таблице истинности в нее включают также столбцы, соответствующие результатам выполнения каждой операции. В таком случае говорят о расширенной таблице истинности. расширенной таблице истинности для формулы Ú имеет вид:

					Ú
	И	И	Л	Л	Л
	И	Л	И	Л	И
	Л	И	Л	И	И
	Л	Л	Л	Л	Л

Посмотрим внимательнее на то, как связаны истинностные значения формулы со значениями ее пропозициональных букв. Формула принимает значение И тогда и только тогда, когда точно одна из входяших в нее букв принимает значение И. Говорят, что эта формула определяет дизъюнкцию в разделительном смысле (исключающую дизъюнкцию). Если в формуле имеется n различных пропозициональных букв, то для них возможны различных распределений истинностных значений, и, следовательно, истинностная таблица для такой формулы содержит строк.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ- таблица, с помощью которой уста­навливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В клас­сической математической логике предполагается, что каждое про­стое (не содержащее логических связок) высказывание является либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Мы знаем, что у высказывания имеется лишь две возможности — быть истин­ным либо быть ложным. Когда с помощью логических связок мы соединяем простые высказывания в сложное, встает вопрос: при каких условиях сложное высказывание считается истинным, а при каких — ложным? Для ответа на этот вопрос и служат Т. и. Каждая логическая связка имеет свою таблицу, которая показывает, при каких наборах значений простых высказываний сложное высказы­вание с этой связкой будет истинным, а при каких — ложным. Приведем Т. и. для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и имплика­ции («и» означает «истина», «л» - «ложь»):

Придать значение пропозициональной связке означает сопоставить ей определ.функцию истинности.

Пользуясь приведенными таблицами, для любого сложного выска­зывания, содержащего указанные связки, можем построить Т. и..которая покажет, когда высказывание истинно и когда — ложно. В качестве примера построим Т. и. для такого высказывания: (A v~B) —> B.

Т. и. позволяет выделить из класса формул нашего языка всегда истинные формулы (тавтологии), всегда ложные формулы, устано­вить отношение логического следования между формулами, их эк­вивалентность и т. д. Наряду с двузначными Т. и. в логике использу­ются таблицы с тремя, четырьмя и т. д. значениями истинности, построением и анализом которых занимается многозначная логика.

Билет №11

Логическая истинность, логическая ложность, логическая выполнимость.

Законом классической логики высказываний является формула, принимающая значение «истина» при любых наборах значений входящих в неё пропозициональных перемнных.Формулы данного типа называют тождественно-истинными.

Формула называется тождественно-ложной, если и только если она принимает значение ложь прилюбых наборах значений входящих в неё пропозициональных переменных.

Формула называется выполнимой если и только если она принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе входящих в неё пропозициональных переменных.Всякая тождественная формула является выполнимой.

Формула опровержима если и только если она принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе входящих в неё пропозиц.переменных.

Если во всех строках таблицы формула принимает значении истины то высказывание логически истинно.Если во всех строках формула принимает значение ложь то высказывание логически ложно. Если же формула выполнима и опровержима то высказывание логически недетерминировано.

Билет №12

Логические отношения между формулами в исчислении высказываний.

Билет 13

Основные законы логики высказываний

A Ú ØA	Закон исключения третьего
ØØA « A	Закон двойного отрицания
A Ú A « A	\ Законы
A & A « A	/ идемпотентности
A Ú (A & B) « А	\ Законы
A & (A Ú B) « А	/ поглощения
A & B « B & A	\ Законы
A Ú B « B Ú A	/ коммутативности
A & (B & C) « (A & B) & C	\ Законы
A Ú (B Ú C) « (A Ú B) Ú C	/ ассоциативности
A & (B Ú C) « (A & B) Ú (A & C)	\ Законы
A Ú (B & C) « (A Ú B) & (A Ú C)	/ дистрибутивности
	\ Законы
	/ Де Моргана
A ® B « ØB ® ØA	Закон контрапозиции
(A ® B) & (B ® C) ® (A ® C)	Закон транзитивности импликации
(ØA ® B) & (ØA ® ØB) ® A	Закон косвенного доказательства
(A Ú B) & (A ® C) & (B ® C) ® С	Закон разбора случаев
(A « B) & (B « C) ® (A « C)	Закон транзитивности эквиваленции
(A « B) « (ØA « ØB)	Закон противоположности
A Ú ØA « И, A ® A « И	Закон выражения И
A & ØA « Л, Ø(A ® A) « Л	Закон выражения Л
A ® B « ØA Ú B	Закон выражения импликации через отрицание и дизъюнкцию
(A « B) « (A ® B) & (B ® A)	Закон выражения эквиваленции через конъюнкцию и импликацию
A & B « Ø(A ® ØB)	Закон выражения конъюнкции через отрицание и импликацию
A Ú B « ØA ® B	Закон выражения дизъюнкции через отрицание и импликацию

Билет 14

Логический анализ разделительных и условно-разделительных умозаключений.

Разделительным называется умозаключение, одна из посылок которого является разделительным суждением, а другая посылка и вывод являются категорическими суждениями.

Разделительное умозаключение является правильным при определенных условиях, а именно:

• части разделительного умозаключения в посылке находятся в отношении исключающего разделения (строгой дизъюнкции);
• части разделительного суждения в посылке исчерпывают объем делимого понятия.

Разделительное умозаключение существует в двух модусах: modus ponendo tolens — положительно-отрицательный, modus tollendo ponens — отрицательно-положительный.

Modus ponendo tolens представляет собой умозаключение, большая посылка которого является разделительным суждением, меньшая — утвердительным суждением, а вывод — отрицательным суждением.

Каждое А есть либо В, либо С;

А есть В;

Следовательно, А не есть С.

Например:

Все разумные тварные существа суть либо ангелы, либо люди;

Данное существо есть человек;

Следовательно, оно не есть ангел.

Как было отмечено выше, разделительное суждение должно быть исключающим, а объем членов суждения должен совпадать с объемом делимого понятия.

Студент N не сдал экзамен либо по болезни, либо по нерадению, либо в силу отсутствия на занятиях;

Студент N отсутствовал на занятиях.

Вывод сделать нельзя, поскольку и то, и другое, и третье могло оказаться причиной недостаточной подготовки студента N; кроме того, студент мог не сдать экзамен и по иной причине, которая не указана в разделительном суждении.

Modus tollendo ponens представляет собой умозаключение, большая посылка которого является разделительным суждением, меньшая — отрицательным суждением, а вывод — положительным суждением.

Каждое А есть либо В, либо С;

Данное А не есть В;

Следовательно, данное А есть С.

Например:

Все сущее есть или тварное, или нетварное;

Человек не есть нетварное существо;

Следовательно, человек есть тварное существо.

Условно-разделительным (леммой) называется умозаключение, в котором одна посылка — разделительное суждение, а другие посылки, число которых равно числу членов деления, являются условными суждениями.

По числу членов деления оно называется дилеммой, трилеммой. Условно-разделительные умозаключения существуют в простом и сложном модусах.

Простой modus ponens (конструктивный) представляет собой условно-разделительное умозаключение, посылки и вывод которого являются положительными суждениями:

Каждое A есть либо B, либо C;

Если A есть B, то A есть D;

Если A есть C, то A есть D;

Следовательно, A есть D.

Пример:

Всякий грешник является либо блудником, либо лихоимцем, либо сребролюбцем, либо славолюбцем;

Если грешник блудник, то он и нечестивец;

Если грешник лихоимец, то он и нечестивец;

Если грешник сребролюбец, то он и нечестивец;

Если грешник славолюбец, то он и нечестивец;

Следовательно, всякий грешник — нечестивец.

Простой modus tollens (деструктивный) представляет собой условно-разделительное умозаключение, меньшие посылки и вывод которого являются отрицательными суждениями.

Если A есть B, то A есть D;

Если A есть B, то A есть F;

Но A не есть D, либо A не есть F;

Следовательно, A не есть B.

Пример:

Если я хочу сдать экзамен, то мне нужно время, чтобы слушать лекции;

Если я хочу сдать экзамен, то мне нужен учебник;

Но у меня нет ни времени, ни учебника.

Следовательно, я не смогу сдать экзамен.

Сложный (конструктивный) modus ponens представляет собой условно-разделительное умозаключение, посылки которого являются положительными условными и разделительными суждениями, вывод — разделительным суждением, а в меньшей посылке утверждается консеквент.

Если A есть B, то C есть D;

Если E есть F, то G есть H;

Но либо A есть B; либо E есть F;

Следовательно, или C есть D, или G есть H.

Пример:

Если я опоздаю на занятие, то получу выговор от преподавателя;

Если я не выучу урок, то получу плохую оценку;

Но я либо опоздаю на занятия, либо не выучу урок;

Следовательно, я получу либо выговор, либо плохую оценку.

Сложный (деструктивный) modus tollens представляет собой условно-разделительное умозаключение, большая посылка которого (разделительное суждение) является отрицательным суждением, меньшие посылки являются положительными суждениями, а меньшая посылка и вывод отрицают антецедент.

Если A есть B, то C есть D;

Если E есть F, то G есть H;

C не есть D и G не есть H;

Следовательно, A не есть B и E не есть F.

Пример:

Если я опоздаю на занятие, то получу выговор преподавателя;

Если я не выучу урок, то получу плохую оценку;

Но я не хочу получить ни выговор от преподавателя, ни плохую оценку;

Следовательно, я выучу урок и не опоздаю на занятие.

Альтернативы леммы назывались в средние века "рогатым аргументом", так как в том же модусе возможно и противоположное умозаключение: "Если будешь говорить справедливое, тебя возненавидят люди; а если несправедливое — боги" [1].

Полная форма умозаключения.

Если оратор будет говорить справедливое, то его возненавидят люди;

Если оратор будет говорить несправедливое, то его возненавидят боги;

Но политические речи бывают справедливыми и несправедливыми;

Следовательно, политические речи ненавистны либо богам, либо людям.

Но:

Если оратор говорит справедливое, то он угоден богам;

Если оратор говорит несправедливое, то он угоден людям;

Но политические речи бывают справедливыми или несправедливыми;

Следовательно, политические речи угодны либо богам, либо людям.

Билет 15

Ошибочные виды прямых умозаключений