Двумерные замкнутые многообразия. Двумерные компактные многообразия с краем

Будем называть клеткой всякое многообразие с краем, гомеоморфное простому многоугольнику. При этом гомеоморфизме образ вершины многоугольника назовем вершиной клетки, а образ стороны многоугольника — стороной клетки.

Говорят, что двумерное многообразие Ф разложено на конечное множество клеток Ф₁ Ф₂, ..., Ф_m, если выполнены два условия:

1) (клетки Ф_i образуют покрытие многообразия Ф);

2) пересечение любых двух клеток Ф_i и Ф_j;- (i≠j/) либо пусто, либо является общей вершиной этих клеток, либо их общей сто­роной.

Можно доказать, что всякое двумерное замкнутое многообразие, как и всякое двумерное компактное многообразие с краем, можно разложить на конечное множество клеток, причем такое разложение можно сделать многими способами.

Рассмотрим какое-либо клеточное разложение К двумерного многообразия Ф (замкнутого или компактного многообразия :с краем). Точку назовем вершиной разложения К., если она является вершиной хотя бы одной клетки из К. Подмножество назовем стороной разложения K, если оно является стороной хотя бы одной клетки из К. Легко видеть, что если сторона разложения K содержится в крае многообразия Ф, то она является стороной только одной клетки. Если же сторона не содержится в крае, то она является общей стороной двух клеток.

Введем следующие обозначения: — число вершин, — число сторон, — число клеток разложения К.

Число (Ф) = – + называется эйлеровой характеристикой (или характери-

стикой Эйлера — Пуанкаре) многообразия Ф. Оказывается, что это число не зависит от выбора клеточного разложения К.

Эйлерова характеристика является топологическим инвариантом многообразия.