Естественная параметризация кривой. Длина дуги

1. Длина дуги. Пусть — регулярная кривая, заданная уравнениями

где , , — раз непрерывно дифференцируемые функции и их производные , , одновременно не обращаются в нуль на всем промежутке . От параметрического задания кривой (1) перейдем к векторному

в котором векторная функция также раз непрерывно дифференцируема и на всем промежутке производная .

Введем обозначения: — точка кривой , соответствующая параметру .

Возьмем какую-либо точку на кривой . Дуга также является регулярной кривой класса . Длина дуги кривой определяется как предел периметра ломаной, вписанной в данную дугу, если число звеньев неограниченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю. Из курса математического анализа известно, что длина дуги вычисляется по формуле

)

или

3. Естественная параметризация.

Определение. Параметризация кривой называется естественной, если модуль производной векторной функции, задающей кривую, равен 1 при любых значениях параметра.

Теорема. Всякая регулярная кривая имеет естественную параметризацию.

Значение натурального параметра равно по величине длине дуги кривой между некоторой точкой, принятой за начальную, и данной точкой; знак натурального параметра определяется в зависимости от выбора направления движения по кривой, условно принятого за положительное.