Таблицы вида

Определители и матрицы.

Системы линейных уравнений

Матрицы и определители

Таблицы вида

,

где а_ij, i=1, …. , m, j=1, …. , n - числа, называются матрицами. При m=n - матрица квадратная, при m≠n – прямоугольная.

Определителем 2-ого порядка, соответствующим матрице

А = , называется число |А| = .

Определителем 3-его порядка, соответствующим квадратной матрице А= , называется число

|А|= .

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i - строки и j- столбца. Так, минором М₂₃ определителя 3-его порядка является определитель М₂₃= , схема: .

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij определителя называется определитель, равный А_ij = (-1)^i+j М_ij.

Вычисление определителя по элементам строки или столбца.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Так, по элементам второй строки вычислим определитель 3-его порядка:

|А| =

.

Операции над матрицами.

Суммой двух матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) называется матрица С =(с_ij), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

с_ij= а_ij+b_ij i =1,2, … , m, j =1,2, … , n.

Произведением матрицы А = (а_ij) на число λ называется матрица λА=( λ а_ij ), где каждый элемент матрицы А умножается на число λ.

Произведением матрицы А = (а_ij)_mn на матрицу В = (b_ij)_nk называется матрица С=(с_ij)_mk=AB , элемент с_ij которой равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -ого столбца матрицы В.

Так, например,

.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель |А| = 0, и невырожденной , если |А| ≠ 0.

Обратной для невырожденной матрицы А называется матрица А^-1 такая, что , где Е – единичная матрица (по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны 0).

Так, обратная матрица А^-1 для квадратной матрицы А 3-его порядка имеет вид

.