Теорема Джексона.

Фундаментальне значення для конструктивної теорії функцій мало відкриття Джексоном можливості суттєвого уточнення класичної теореми Вейєрштраса і нове формулювання її у вигляді нерівності.

Теорема 2.1.Для будь-якої функції справедлива оцінка

Доведення. Для доведення скористаємося наступною теоремою.

Теорема 2.2. Нехай функція і має модуль неперервності Покладемо

Тоді при всіх справедлива оцінка

Але так як , то тим більше

Якщо – парне натуральне число, , то

Якщо ж число непарне, то

Отже, оцінка (1) справедлива для будь-якого натурального

Зважаючи на те, що для будь якої функції із

зрозуміло, що доведена теорема Джексона містить у собі другу теорему Вейєрштраса.

Наслідок 2.1. Якщо

В свою чергу звідси маємо

Наслідок 2.2. Якщо у існує обмежена похідно то

Дійсно, за цих умов