Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Понятие функции. Даже при поверхностном взгляде видно, что все вокруг нас находится в постоянном изменении




Даже при поверхностном взгляде видно, что все вокруг нас находится в постоянном изменении. Меняются температура и влажность воздуха, атмосферное давление, сила ветра, скорость движения машин и т.д. Меняется — это значит; что при измерениях одной и той же величины в разное время и в разных местах будут получаться разные числа.

Постоянные (не меняющиеся) величины встречаются чрезвычайно редко. Примером постоянной может служить отношение длины окружности к ее диаметру: какую окружность ни взять, это отношение = .. Другой пример — сумма углов в треугольнике: какой треугольник ни взять, сумма его углов равна двум прямым. Еще пример — произведение давления газа в цилиндре с поршнем на объем газа: оно тоже не меняется, но здесь уже нужна оговорка — температура при этом должна, быть постоянной, а газ — идеальным.

В математическом анализе изучаются переменные величины. При этом для потребностей практики особенно важно изучать изменение переменных величин в их взаимосвязи. Например, для разных окружностей их радиус R и длина С различны — это переменные величины. Но дня одной и той же окружности они между собой жестко связаны: если радиус R известен, то длина С этим вполне определена (как известно из школьного курса, С == 2 R , но сейчас это не главное). С изменением радиуса R будет вполне определенным образом меняться и длина окружности С. Про такую связь между переменными величинами принято говорить, что С есть функция от R , a R — аргумент этой функции. Записывают это так: С = f(R) или С = C(R) и т.п.

Аналогично, площадь круга S есть функция от его радиуса R (аргумента этой функции): S = g(R) или S == S(R) и т.п. То, что это иная функция, нежели C(R) , отмечено в записи — эта функция обозначена другой буквой. Также и давление р в цилиндре с поршнем есть функция от объема V , занимаемого газом (V — аргумент этой функции):

р = F(V) или р = p(V) и т.п.

Основное, на что надо обратить внимание во всех этих примерах, состоит в том, что каждому значению .аргумента соответствует (по некоторому закону) определенное значение функции. При этом не существенно, знаем мы формулу, описывающую эту зависимость, или нет. Например, давление в комнате меняется со временем, т.е. давление р есть функция времени t: р == p(t). Однако вряд ли кто может написать формулу для этой зависимости.

Итак, мы подошли к определению понятия числовой функции — основного понятия математического анализа.

Определение 1. Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у , то говорят, что на множестве D задана функция f . Число у называют значением функции f в точке X и пишут у = f(x), х — аргументом этой функции, а множество D — областью определения этой функции.

Обычно говорят проще — переменная у есть функция от переменной х, или задана функция у == f{x), или просто f(x). Вместо буквы f можно пользоваться любой другой буквой и писать: задана функция у = у(х) или у = а{х) и т.п. При этом обозначения выбираются так, чтобы в данном рассуждении разные функции обозначались по-разному, а одна и та же функция обозначалась одним и тем же способом.

В приведенных выше примерах с длиной окружности C(R) и площадью круга S{R) областью определения этих функций будет множество D всех положительных действительных чисел. В примере с давлением газа в цилиндре с поршнем аргумент V не может быть отрицательным, нулем и больше объема v0 цилиндра, т.е. областью определения этой функции будет множество D всех действительных чисел V , удовлетворяющих неравенству 0 < V V0.

Выше мы рассматривали переменную у как функцию от одной переменной х. На практике переменная у часто зависит от нескольких переменных х12,...,хn. Тогда у называют функцией от п переменных х1, х2,...,хn. — аргументов этой функции — и записывают это так: у = f{ х1, х2,...,хn.), у = у(х12,...,хn.) и т.п.

Первое знакомство с анализом начинается с изучения более простых функций от одного аргумента.

Области определения функций могут быть устроены весьма сложно. Из них принято выделять простейшие множества — промежутки. Напомним основное определение.

Определение 2. Отрезок [a, b] (а и b —действительные числа, а <b есть множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а х b. Числа а и b называют концами отрезка (соответственно левым и правым). Все действительные числа х, удовлетворяющие неравенству, а<х<b называют внутренними точками отрезка [a,b] и их множество называется интервалом (a,b) (или ).

Название «отрезок» связано с изображением действительных чисел точками прямой. Вспомним, что каждое действительное число изображается точкой на координатной прямой и каждая точка координатной прямой изображает некоторое действительное число, так что в дальнейшем мы не будем различать действительные числа и точки на координатной прямой: говоря «число», представляем себе соответствующую точку и, говоря «точка», представляем себе соответствующее число.

Возьмем два числа а и b, а < b, — это точки на прямой. Отрезок (как его принято понимать в геометрии) с концами а и b (рис. 7.4.1) состоит из точек прямой, расположенных между точками а и b (концами этого отрезка) и самих этих точек а и b . Если точка (число) х лежит на отрезке, то она или расположена между точками а и b, и тогда а < х < b , или совпадает с концом а, и тогда х = а, или совпадает с концом b , и тогда х = b.

Переходим к функциям. В определении функции ничего не сказано о том, как устанавливается соответствие между числами х и у . В зависимости от того, как задано это соответствие, различаются три основных способа задания функции: табличный, аналитический (при помощи формул) и графический (при помощи чертежа). Разберем эти способы, их достоинства и недостатки.

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х (из области определения функции) рядом выписывается соответствующее значение у , — получается таблица. Например:

х 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7
У 2,78 2,96 3,31 3,85 4,63

(при этом, конечно, все х из области определения функции выписать нельзя, и уже поэтому такое задание функции весьма неполно). Из приведенной таблицы .легко себе представить, как ведет себя функция. Пусть, например, х — это время, а. у — это температура. Ясно, что температура со временем повышается, причем чем дальше, тем быстрее, и в определенные моменты времени известны точные значения температуры. Это достоинство табличного способа. Но вот совершенно неизвестно, определена ли эта функция при • х = 1,37? А если определена, то чему равен у при х = 1,37? Таким образом, при табличном способе задания функции почти ничего не известно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос нужна, помимо этой таблицы, дополнительная информация.

Допустим теперь, что нам известно дополнительно, что функция определена для всех промежуточных значений х. Но как она там изменяется? В приведенном примере как будет изменяться при х, меняющемся от 1,3 до 1,4, какая здесь будет таблица?

Такая:

х 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40
У 2,78 2,81 2,84 2,88 2,92 2,96

Или такая:

X 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40
У 1,78 2,95 ЗД7 2,62 2,74 2,96

В первом случае ясно, что нагревание идет постепенно, «нормально». А во втором случае с прибором творится что-то странное, явно «что-то не то». Но по первоначальной таблице, ничего не зная о том, откуда эта таблица взялась, выбрать из этих двух возможностей одну, соответствующую действительности, невозможно: оба случая равноправны. В этом большой недостаток табличного задания функций.

Однако в ряде случаев это единственный способ экспериментального изучения окружающих нас закономерностей. В самом деле, что делается, когда ставят опыт? С точки зрения математика здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами, изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить эту функцию.1

Экономические параметры, описывающие деятельность экономических субъектов, подвержены изменению -их числовых значений во времени. В то же время отметим, что исследованием пределов бесконечно малых приращений функций занимаются такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Таким образом, представив изменения числовых значений экономических параметров в виде суммы бесконечно малых функциональных приращений, можно использовать при экономических исследования математический инструментарий дифференциального исчисления.

 

Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или. минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задачя на максимум прибыли как функции объема. выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) отношение приращения функции у к приращению аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое отношение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции у = f(x) является равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это — задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у == f (х) — это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления — нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов.

Так, например, если задана производственная функция: у = f (Х..., х,,... .Хд), где х —объем затрачиваемого i -то ресурса (f=l,...,n), у — максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объемах х^,...,х^...х^, то предельный эффект от использования i -то ресурса ( р,) определяется следующим образом:

Здесь величина p1, дополнительному объему выпуска, который получается в результате затраты дополнительной величины хi. i -го ресурса при неизменных объемах остальных ресурсов.

Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а тарже для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов.

Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов д. и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств.

В задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х1 и х2, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у .

Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=f{x1 x2). Если мы хотим сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у , а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иными словами, о = dy = у'X1 dX1 + у'X2 dxX2. Отсюда предельная норма замены — - dx1/dx2 = Y’X2/Y’X1 , то есть равняется отношению частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление — это не только аппарат, позволяющий находить решения задач с использованием таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.1

 

Первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f{x) == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.

Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х2. Функция F(x) = х3 является первообразной для f(x)=3x2, так как F'(x) =(x3)’=Зx2 = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная х3 не является единственной для функции Зх2. В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х3 + 5, х3 - 2 и вообще х3 +С, где С —произвольная постоянная, потому что 3 +С)'=Зх2. Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С.

Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком

неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства:

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем:

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Имеем:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0,

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.

 

Ряды

Решение ряда задач сводится к сложению бесконечного числа слагаемых, т.е. ставится проблема обобщения понятия суммы на этот случай. При этом особое внимание надо обратить на то, что это понятие вводится только для членов последовательности. Ни для какого другого бесконечного множества слагаемых сумма не определяется. Для этого обобщения некоторые свойства обычных сумм сохраняются, а другие пропадают.

Сложить бесконечное число слагаемых так, как это делалось для конечных сумм, — сначала сложить первые два слагаемых, затем к ним добавить еще одно, затем — еще одно и т.д., нельзя — этот процесс никогда не закончится. Поэтому для суммы бесконечного числа слагаемых вводится определение.

Определение 1. Пусть задана последовательность аn. Выражение вида

называется рядом, anп -м или общим членом ряда. Короче (7.4.2) записывается так:

какой буквой обозначается номер члена ряда — безразлично.

Определение 2. Сумма п первых членов ряда называется пчастичной суммой ряда, ее принято обозначать sn.

Так, для ряда (7.4.2) п -я частичная сумма

Определение 3. Если последовательность Sn частичных сумм ряда имеет предел s, то ряд называется сходящимся, а число s называют суммой этого ряда и пишут аk = s.

Если последовательность Sn не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Коротко говорят: сумма ряда есть предел его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм не имеет предела (ряд расходится), то ряд не имеет суммы.

Ряд aqn-1 будем называть геометрической прогрессией (как и последовательность членов этого ряда).

Пример 1. Геометрическая прогрессия n-1расходится при /q/ 1, a 0 и сходится при /q/ <1, при этом

Прежде всего найдем п -ю частичную сумму этого ряда. Как известно из школьного курса (при q 1),

Приведем пример, который показывает, что действие с рядами по привьгчньм для конечных сумм правилам может привести к неожиданному результату.

Оказалось, что после такой перестановки слагаемых сумма ряда уменьшилась вдвое (в скобках стоит тот же ряд, с которого мы начали).

Этот пример показывает, что правила действий с рядами не всегда повторяют аналогичные правила действий с конечными суммами. Поэтому при вычислениях с рядами надо опираться только на соответствующие теоремы. Ниже будут сформулированы и доказаны основные (и простейшие) теоремы о рядах. Для начала отметим, что конечную сумму

(у выписанного ряда аn = 0 при всех п > k ). Действительно, частичная сумма ряда (7.4.4) при любом п > k будет sn = а1 + а2 + а3 +... + аk + 0 = а, т.е. постоянна, и потому Sn == a,т.е. ряд (7.4.4) сходится и его сумма равна а.

Теорема 1 (об общем множителе).

Если ряд am сходится, то для любого числа ряд am тоже сходится и

Если ряд am расходится и 0, то и ряд am, расходится.

Коротко говорят: общий множитель можно выносить за знак суммы, умножение на ненулевой множитель не нарушает сходимости (расходимости).

Так как am сходится, то последовательность Sn == a1 + a2 + a3 +... + аn имеет предел и, по определению суммы ряда, am = . Выпишем далее частичную сумму ряда , am:

поэтому limSn = lim Sn = lim Sn == am. Поэтому ряд am сходится и

Для доказательства второй части теоремы предположим, что ряд am сходится. Тогда (по первая части теоремы) сходится ряд 1/ ( am), что противоречит условию теоремы (второй части). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно и потому ряд am расходится.

Теорема 2 (сумма рядов).

Если ряды am и bm сходятся, то сходится ряд (am + bm):

Ряд (am + bm) и ряд (am - bm):будем называть рядом-суммой.

Так как am сходится, то существует lim sn = am , Sn = a1 + a2 + a3 +... + аn . Так как bm сходится, то существует lim bm. Выпишем частичную сумму ряда-суммы:

Sn = (a1 + b1 )+( a2 + b2) +... + (аn+ bn) = (a1 + a2 +….+ an ) +(b1 + b2 +….+ bn)=Sn + m

Поэтому последовательность Sn имеет предел (так как Sn и n имеют пределы), т.е. ряд-сумма сходится:

Пример 3.

Следствие. Если ряд am сходится, а ряд bm расходится, то ряд-сумма (am+bm) расходится.

Действительно, предположим, что ряд-сумма сходится, тогда, по теореме 2, сходится ряд-сумма ((am+ bm )- am) гфотиворечит условию. Следствие доказано.

Заметим еще, что если оба ряда расходятся, то ряд-сумма может оказаться как сходящимся рядом (если, например, bm )=-am, так и расходящимся (если, например, am =bm)

Теорема 3.

Изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости (расходимости).

Другими словами, расходящийся ряд остается расходящимся, а сходящийся ряд остается сходящимся, хотя сумма ряда при этом, как правило, изменяется.

Пусть у ряда am как-то изменены первые k членов. При этом получился ряд bm , у которого am =bm при всех от m > k. Положим сm = bm –аm. Тогда ряд сm сходится, так как сm = 0 при всех m > k. Поэтому ряд-сумма (am + сm) == bm сходится, если сходится ряд am и расходится, если расходится ряд am.

Из этой теоремы следует, что при изучении сходимости ряда можно изменять, как нам удобно (или вообще отбрасывать), конечное число членов ряда — на его сходимость (расходимость) это не влияет.

Первый вопрос, который обычно выясняется относительно ряда — сходится он или расходится, а для сходящегося ряда уже можно ставить вопрос о вычислении его суммы (точном или приближенном).

Для ответа на первый вопрос существуют теоремы, которые называются признаками сходимости.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд an сходится, то lim an = 0.

Пусть сумма ряда равна s. Так как sn = sn-1 + an, то

Очень важное замечание. Ниже будет доказано, что ряд 1/n — (его называют гармоническим рядом) расходится, хотя lim 1/n = 0.

Теорема 5 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim an или не существует, то ряд an расходится.

Предположим, что ряд an сходится. Тогда lim an = 0 (теорема 4), что противоречит условию теоремы 5. Следовательно, an расходится.

Пример 4. Ряд aqn-1 расходится при и /q/ 1, так как lim aqn-1 . Ряд расходится, так как lim =-2/7 0.

Пример 5. Ряд cos расходится, так как не существует lim cos

Описание экономических, отношений и процессов посредством совокупности переменных, часть которых изменялась с течением времени и обеспечивала функциональное изменение другой части, искомой в рамках данного экономического исследования, происходит с использованием дифференциальных уравнений, рассмотрением которых мы и займемся.

 

Дифференциальные уравнения

Решение многих задач экономики сводится к следующему: требуется найти неизвестную функцию у = у(х), если известно уравнение, содержащее : x, y(x), y’(x), …, y(n)(x).

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Определение 2. Функция называется решением дифференциального уравнения (7.4.9) на интервале I, если для всех х I

F(x, (x), ’(x)))=0. (7.4.10)

Коротко говорят: функция (р удовлетворяет дифференциальному уравнению. Пример 6. Для дифференциального уравнения

функция у = sin х будет решением, так как у'== cos x и

для всех х, т.е. интервалом I здесь является все множество действительных чисел. А функция у = х2 не является решением дифференциального уравнения (7.4.11) ни на каком интервале, так как у’== 2х и равенство

выполнено только для отдельных значений х — нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х.

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все решения этого уравнения. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения называется общим решением этого уравнения.

Пример 7. Для дифференциального уравнения

общее решение дается формулой

Пример 8. Все решения дифференциального уравнения

на интервале (- , ) даются формулой

Это есть общее решение заданного уравнения.

Далее мы выпишем некоторые типы дифференциальных уравнений и решим их, т.е. найдем их общее решение.

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными уравнение вида

Теорема 1.

Общее решение дифференциального уравнения (7.4.12) дается формулой

Эта формула задает у как функцию от х неявно. Если уравнение (7.4.13) решить относительно у , то получим решение явно.

Для доказательства теоремы надо проверить два факта: 1) каждая функция, удовлетворяющая равенству (7.4.13) на некотором интервале I есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J ; 2) каждое решение уравнения (7.4.12) на интервале I есть функция, удовлетворяющая уравнению (7.4.13) на этом интервале I .

1) Пусть функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на некотором интервале I .

Это значит, что для любого х I выполнено равенство

Дифференцируя это тождество на I, получаем g(( (x)) ’= (х), т.е. функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на I .

2) Пусть функция есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J . Это значит, что для любого х I выполнено равенство g{( (x)) ’= (x), и потому

т.е. функция удовлетворяет уравнению (7.4.13) на I .

Пример 9. Решим дифференциальное уравнение

Переписав это уравнение в виде

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Про сделанное преобразование говорят: «разделим переменные». Далее по теореме 1 выписываем общее решение:

Общее решение получено в неявном виде. Отсюда можно получить общее решение заданного уравнения в явном виде:

Стохастичность, ши вероятностный характер, большинства экономических явлений, рассматриваемых в перспективе, требует, от экономиста использования особого инструментария, позволяющего оценить все возможные варианты развития событий. Для этой цели используется теория вероятностей — раздел математики, изучающий законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым, в том числе и экономическим.

 

Предмет теории вероятности.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S . Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°С, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий ,S .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: силы, с которой брошена монета, формы монеты и многих других).

Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин;, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом 'предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей- служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А. Маркова (1856—1922) и А.М. Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.).

Основные понятия теории вероятностей


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 63; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты