РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

Напомним определение поля. Полем называется алгебраическая структура, состоящая из носителя поля (множества М) и двух бинарных операций, определённых на М, именно, сложения и умножения. Относительно сложения М образует абелеву группу(Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения ^[3], которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам:

§ Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их произведением:

§ Ассоциативность операции умножения. Порядок выполнения умножения несущественен:

§ Существование единичного элемента. В группе существует некоторый элемент E, произведение которого с любым элементом Aгруппы даёт тот же самый элемент A:

§ Существование обратного элемента. Для любого элемента A группы существует такой элемент A^-1, что их произведение даёт единичный элемент E:

Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы

Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми:

)

, относительно умножения ненулевые элементы М образуют также абелеву группу. Умножение относительно сложения дистрибутивно. Пусть F — поле. Подмножество К поля F, которое само является полем относительно операций поля F, называется его подполем. В этом случае поле F называется расширением поля К. Если К ≠ F, будем К называть собственным подполем поля F. Поле, не содержащее собственных подполей, называется простым полем. Пересечение любой непустой совокупности подполей данного поля F — снова подполе поля F. Пересечение всех подполей поля F называется простым подполем поля F.

Поле можно построить разнообразными способами. Так, поле рациональных чисел можно построить как поле частных кольца целых чисел. Поле действительных чисел можно построить как множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Поле комплексных чисел можно построить как расширение поля действительных чисел мнимой единицей .

Рассмотрим процедуру расширения поля некоторым элементом.

Элемент a поля F называется алгебраическимнад полем К, если a является корнем какого-нибудь многочлена положительной степени из К[x]. Минимальным многочленом элементаa над К называется нормированный многочлен из К[x] наименьшей степени, корнем которого является a. Степенью алгебраического элемента a над К называется степень минимального многочлена.

Пусть – подполе поля и . Простымрасширением поля с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля , содержащее поле и элемент a. Расширение поля называется алгебраическим,если все его элементы являются алгебраическими над K. Расширение F поля K называется конечным, если F, как векторное пространство над K, имеет конечную размерность.

Следующая теорема даёт ответ о том, каков вид элементов расширения поля с помощью алгебраического элемента.

Теорема. Пусть – алгебраический элемент поля степени над подполем поля , и пусть g — минимальный многочлен элемента над . Тогда:

1. Простое расширение К( ) изоморфно факторкольцу .

2. [K( ):K] = n и {1, ,..., } — базис векторного пространства К( ) над полем K.

3. Каждый элемент является алгебраическим над полем К, и его степень является делителем n.

Из этой теоремы следует, что, если строим расширение поля К элементом , элементами расширения К[ ] поля К могут быть классы вычетов кольца многочленов над К по идеалу, порождённому минимальным многочленом элемента . Это значит, если минимальный многочлен имел степень 3, то в качестве представителей смежных классов можно взять остатки от деления произвольного многочлена над К над минимальный многочлен. Остатки будут иметь степень не выше второй.

Теорема также утверждает, что расширение К[ ] образует линейное пространство над К. Размерность этого пространства совпадает со степенью минимального многочлена g(x) элемента . Если степень g(x) равна 3, то элементы 1, образуют базис расширения. Тогда любой элемент из К[ ] представим в виде линейной комбинации базисных элементов.

Построим расширение поля R действительных чисел с помощью

элемента . Наименьший нормированный многочлен с коэффициентами из R, корнем которого является элемент , равен .Тогда расширение R(i) образует линейное пространство размерности 2 с базисом, состоящим из элементов 1, , элементы пространства состоят из элементов вида где R .Получим поле R(i) = C, где С – поле комплексных чисел.

По аналогии можно построить расширение поля Q рациональных чисел элементом . Наименьший нормированный многочлен с коэффициентами из Q , корнем которого является элемент , равен . Тогда расширение Q состоит из элементов вида , где Q. Элементы такого вида образуют подполе поля действительных чисел.

По аналогии строятся расширения конечных полей. Так, конечное поле образует множество вычетов по простому модулю.

Построим расширение конечного поля вычетов целых чисел по модулю 3 корнем неприводимого над многочлена второй степени . Поле состоит из элементов 0,1,2. Тогда расширение cостоит из 9 элементов .

Можем составить таблицы сложения и умножения элементов.

 

Таблица сложения:

+				2			2	2
				2			2	2
				2				2
			2		2	2
	2	2
			2		2	2
			2		2	2
2	2	2
2	2	2

 

Таблица умножения:

х				2			2	2
				2			2	2
			2		2	2
		2				2		2
					2		2
		2		2	2
		2	2				2
2	2			2		2
2	2		2					2

 

 

Переобозначим элементы:

2
2
2

 

Тогда таблицы сложения и умножения будут выглядеть следующим образом:

+

х

 

---

Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 121; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав

---

<== предыдущая лекция	|	следующая лекция ==>
Frank 0 'Connor	|	Постановка задачи