Критические точки

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

Определение. Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение. Областью принятия гипотезыназывают совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Критическая область и область принятия гипотезы являются числовыми промежутками, которые отделяются критическими точками.

Определение. Критическими точками k_крназываются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Определение. Правостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством K>k_кр, где k_кр>0.

0 k_кр K

Определение. Левостороннейназывают критическую область, определяемую неравенством K<k_кр, где k_кр<0.

k_кр 0 K

Определение. Двустороннейназывают критическую область, определяемую неравенствам K<k₁, K>k₂,где k₂>k₁.

k₁ 0 k₂ K

Для определения правосторонней критической области (k_кр, ) задают достаточно малый уровень значимости α. Затем ищут критическую точку k_кр, исходя из условия, что если нулевая гипотеза верна, то вероятность того, что критерий K примет значение, большее k_кр, была равна принятому малому уровню значимости α: P(K>k_кр)=α. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Для отыскания левосторонней области ( , k_кр) поступают аналогично. Критическую точку k_кр находят из условия, что при справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий примет значение, меньшее k_кр, была равна принятому уровню значимости α: P(K<k_кр)=α.

Двусторонняя критическая область имеет вид: (k₁, k₂). Критические точки k₁ и k₂ находят из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее k₁ или большее k₂, была равна принятому уровню значимости: P(K<k₁)+P(K>k₂)=α. При этом критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способом. Если же распределение критерия симметрично относительно нуля, то критические точки k₁ и k₂ можно считать симметричными,

k₁= -k₂. Тогда P(K<k₁)=P(K>k₂), а из условия P(K<k₁)+P(K>k₂)=α следует, что P(K>k₂)= .