Первые интегралы канонических уравнений Гамильтона.

Первыми интегралом канонических уравнений Гамильтона называются функция f(t,q_i,p_i), которая остается постоянной при любых значениях канонических переменных q_i и p_i и удовлетворяет каноническим уравнениям

, , где i = 1,2,..,s.

Проинтегрировать 2s канонических уравнений, значит найти 2s независимых первых интегралов f(t,q_i,p_i) = Cj, где j = (1,2,…,2s), ибо, решив уравнения относительно канонических переменных q_i и p_i, найдем:

q₁ = q₁(t, C₁, ,C_2s)

……………………

q_s = q₁(t, C₁, ,C_2s)

Эти значения q_i и p_i (i = 1,2,..,s) по определению первых интегралов, удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона.

Если система консервативна, то одним из его первых интегралов является полная механическая энергия Т + П = h, равная в этом случае функции Гамильтона, т.е. h=H. Этот первый интеграл называется интегралом энергии.

Значительно упрощается отыскание первых интегралов при наличии циклических координат.

Если одна из обобщенных координат q_j - циклическая, то сопряженный с ней обобщенный импульс p_j постоянен, т.е. p_j = c_j = const и является одним из первых интегралов канонических уравнений.

Поэтому при выборе обобщенных координат надо стремиться к тому, чтобы среди них оказалось возможно большее число циклических координат.

Если все координаты циклические, а связи стационарные, то функция Гамильтона зависит только от постоянных обобщенных импульсов: H = H(p_i). При этом все обобщенные координаты оказываются линейными функциями времени:

q_i = g_it +D_i,

где g_i = =const, D_i -постоянные интегрирования.

Поэтому, если бы можно было в ходе решения задачи перейти от избранных обобщенных координат к циклическим координатам, то интегрирование канонических уравнений совершалось бы элементарно. Однако переход к циклическим координатам в общем случае неизвестен.