Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною

Процес відшукання кореня рівняння складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто відшукання інтервалів, у яких міститься по одному кореню рівняння, єдиному на даному інтервалі;

2) уточнення значень окремих коренів до деякої заданої міри точності.

Найбільш поширеними на практиці чисельними методами розв’язання рівнянь вигляду (3.1) є: метод поділу навпіл, метод хорд, метод дотичних (Ньютона), метод простої ітерації.

На першому етапі під час виділення області, у межах якої знаходяться дійсні корені рівняння, можна скористатися наступною умовою. Якщо на кінцях деякого відрізка значення неперервної функції має різні знаки, то на цьому відрізку рівняння має хоча б один корінь.

Під час графічного способу визначення наближених коренів будують графік функції, абсциси точок перетину якого з віссю Ох дадуть наближені значення коренів.

На другому етапі виконують уточнення коренів різноманітними ітераційними методами. Для розв’язку рівняння (3.1), функція має бути неперервною на проміжку й задовольняти умові . Крім того, як й у всіх ітераційних методах, головною характеристикою є збіжність ітераційного процесу.

У методі поділу навпіл відрізок ділять навпіл і вибирають той напівінтервал, на кінцях якого знаки функції різні (рис. 3.1). Потім процес поділу повторюється доти, доки довжина інтервалу, що містить корінь, не стане меншою за точність . Метод поділу навпіл досить повільний, однак він завжди збігається, тобто під час його використання розв’язання отримують завжди, причому із заданою точністю.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація методу ділення навпіл

У методах простих ітерацій, хорд, Ньютона (метод дотичних) використовують значення початкового (нульового) наближення до шуканого кореня. У цих методах ітераційний процес здійснюють за формулою, яку в загальному вигляді можна записати так:

, (3.2)

де за позначено вираз, який для кожного зі згаданих методів свій; k – номер ітерації.

У методі простої ітерації (послідовних наближень) рівняння (3.1) замінюють рівносильним рівнянням , за яким і здійснюють ітераційний процес. На практиці функцію часто вибирають у вигляді: , де – константа ( ). Якщо, усюди на відрізку , на якому вхідне рівняння має єдиний корінь, то, виходячи з деякого початкового значення , що належить відрізку , можна побудувати таку послідовність [2]:

, , …, .

Межею цієї послідовності є єдиний корінь рівняння на відрізку . Похибку наближеного значення кореня , знайденого методом ітерацій, оцінюють нерівністю

.

Для знаходження наближеного значення кореня з похибкою, що не перевищує , достатньо визначити так, щоб виконувалася нерівність:

.

Метод хорд. Нехай необхідно обчислити дійсний корінь рівняння , ізольований на відрізку . Розглянемо графік функції (рис. 3.2). Нехай и . Точки графіка и з’єднаємо хордою. За наближене значення шуканого кореня візьмемо абсцису точки перетину хорди АВ з віссю Ох [2].

Це наближене значення знаходять за формулою:

,

де належить інтервалу .

Нехай, наприклад, , тоді за новий (більш вузький) проміжок ізоляції кореня можна взяти . З’єднавши точки і , отримаємо у точці перетину хорди з віссю Ох друге наближення , яке обчислюють як:

,

і т.д.

Послідовність чисел , , , … прагне до шуканого кореня рівняння . Обчислення наближених значень коренів рівнянь слід вести доти, доки не буде досягнуто заданого ступеня точності.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація методу хорд

Якщо – точний корінь рівняння , ізольований на відрізку , а – наближене значення кореня, знайдене методом хорд, то оцінка похибки цього наближеного значення:

.

Ідея методу Ньютона зводиться до заміни функції на кожній ітерації дотичною до неї в точці . У цьому методі за початкове наближення вибирають той з кінців відрізка , у якому знаки і співпадають, тобто і обчислення проводять за формулою:

.

Найчастіше вибирають або залежно від того, для якої з цих точок виконується вказана умова.

Застосовуючи цей спосіб, отримуємо:

,

Геометричну інтерпретацію методу Ньютона наведено на рис. 3.3.

Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація методу Ньютона

Таким чином, у цих методах відстань між черговим і попереднім , наближеннями до кореня буде зменшуватися з кожною ітерацією. Процес уточнення кореня закінчується, коли виконується умова:

, (3.3)

де e – допустима похибка визначення кореня.

Для оцінки похибки наближеного значення кореня за методом Ньютона може бути використано нерівність:

.

Ефективність чисельного методу розв’язання нелінійних рівнянь значною мірою визначається його універсальністю, простотою організації обчислювального процесу, швидкістю збіжності.

Найбільшою універсальністю володіє метод ділення навпіл. Він ґарантує отримання розв’язання для будь-якої неперервної функції , якщо знайдено інтервал, на якому вона міняє знак. Методи послідовних наближень і Ньютона ставлять до функції жорсткіші вимоги. Обчислення методом ділення навпіл можна починати з будь-якого відрізка , на кінцях якого функція має різні знаки. При цьому процес сходиться до кореня рівняння . Збіжність методу послідовних наближень і Ньютона залежить від вибору початкової точки. Під час розв’язання практичних завдань не завжди вдається перевірити виконання необхідних обмежень на вибір початкового наближення. Під час реалізації вказаних методів необхідно передбачати обчислення похідних функції для організації ітераційного процесу і перевірки умов збіжності. Це істотно ускладнює обчислення.

Важливою перевагою методу Ньютона є висока швидкість збіжності, що забезпечує значну економію машинного часу під час розв’язання складних нелінійних рівнянь.