Построение траекторий отдельных нейтронов

Для получения стандартных случайных последовательностей {g_i} будем использовать рассмотренный выше генератор псевдослучайных чисел Mersenne Twister. Алгоритм моделирования заключается в следующем:

1. Задать начальное положение нейтрона x₀ = 0 и косинус начального отклонения траектории от оси x m₀ = 1.

2. Сгенерировать длину свободного пробега нейтрона до первого столкновения l₁ по формуле .

3. Вычислить новую координату нейтрона на оси x по формуле :

x_i = x_i-1 + l_i×m_i-1,

где i – номер столкновения.

4. Если x_i > h, то завершить расчёт, считая нейтрон прошедшим через пластину.

5. Если x_i < 0 (что возможно при i > 1), то завершить расчёт, считая нейтрон отразившимся от пластины.

6. Если 0 £ x_i £ h, то разыграть исход столкновения, - рассеяние либо поглощение, - по формуле . В случае поглощения нейтрона закончить расчёт.

7. В случае рассеяния сгенерировать новый косинус угла отклонения траектории m_i по формуле , после чего продолжить расчёт, начиная с пункта 2.

Для получения окончательного результата необходимо провести моделирование для многих нейтронов. Пусть N₊ - количество нейтронов, прошедших сквозь пластину, N_- - количество отразившихся нейтронов, N_a - количество поглощённых нейтронов. Тогда проницаемость пластины совпадает с вероятностью её прохождения

,

а коэффициент отражения – с вероятностю отражения

.

Соответственно, вероятность поглощения даётся формулой

.

2.2.4. Алгоритм с использованием «веса» нейтронов

В алгоритме, изложенном выше, поглощаемый нейтрон исчезает полностью, а вычисления, проведённые для его траектории, в дальнейшем не учитываются. Получается, что эти расчёты не в полной мере используются при получении результатов, что снижает эффективность алгоритма. Потери промежуточных расчётов можно избежать, если моделирование всех траекторий будет продолжаться от входа в пластину и до выхода из неё, без обрыва при поглощениях. Для этого подходит следующая модификация алгоритма, включающая «вес» нейтронов.

Пусть по каждой из моделируемых траекторий движется не один нейтрон, а целое множество, которому в реальности может соответствовать множество нейтронов на похожих траекториях. При каждом столкновении количество этих нейтронов будет уменьшаться на величину, пропорциональную вероятности поглощения å_a/å, но часть нейтронов дойдёт до выхода из пластины. Можно не рассматривать все эти нейтроны напрямую, а ввести «вес» нейтрона w, равный отношению количества нейтронов, остающихся на траектории после очередного столкновения, к исходному количеству. До первого столкновения w₀ = 1. При каждом i-м столкновении вес уменьшается по формуле

,

но моделирование траектории не может закончиться из-за поглощения.

Преимуществами алгоритма с «весом» являются:

· использование всех рассчитанных траекторий до самого конца моделирования: можно показать, что при моделировании того же количества траекторий точность алгоритма с «весом» выше, чем без него [2];

· отсутствие необходимости получения случайных чисел для выбора между поглощением либо рассеянием нейтрона: уменьшение количества обращений к генератору случайных чисел увеличивает скорость моделирования.

Алгоритм, включающий «вес» нейтронов, включает следующие этапы:

1. Наряду с начальной координатой x₀ = 0 и косинусом отклонения траектории m₀ = 1, задаётся также вес нейтрона w₀ = 1.

2. Длины свободного пробега нейтрона на каждом шаге генерируются так же, как в предыдущем алгоритме, по формуле .

3. Новые координаты нейтронов x_i = x_i-1 + l_i×m_i-1 по-прежнему вычисляются по формуле .

4. Если x_i > h, то расчёт завершается, без модификации веса. То же самое и при x_i < 0.

5. Если 0 £ x_i £ h, то модифицировать вес по формуле . Расчёт не прекращается.

6. Сгенерировать новый косинус угла отклонения траектории m_i по формуле , после чего продолжить расчёт, начиная с пункта 2.

Результат моделирования теперь определяется по следующим формулам. Пусть N₊ - количество нейтронов c «весом», прошедших сквозь пластину, а N_- - количество отразившихся нейтронов c «весом». Полностью поглощенных нейтронов теперь нет, так что полное количество нейтронов – N = N₊ + N_-. Вероятность прохождения пластины пропорциональна сумме конечных весов всех прошедших нейтронов:

,

а вероятность отражения от пластины – сумме весов всех отразившихся нейтронов:

.

Вероятность поглощения можно найти по формуле

,

что эквивалентно соотношению

,

в котором суммирование ведётся по всем нейтронам, как прошедшим пластину, так и отразившимся.