Общие понятия о картографических проекциях

При создании карт поверхность эллипсоида вращения, как математическая поверхность Земли, не может быть развернута на плоскости без складок или разрывов, поэтому используют картографические проекции, в которых отображение поверхности эллипсоида на плоскости происходит по определенным математическим законам. Эти законы выражают функциональную связь координат точек картографируемой поверхности и плоскости.

В основу такого отображения картографической проекции положена система геодезических координат, координатными линиями которой являются меридианы и параллели. Линии меридианов на картографируемой поверхности получают путем сечения ее плоскостями, проходящими через ось вращения эллипсоида (они будут эллипсами), а линии параллелей – путем сечения картографируемой поверхности плоскостями, перпендикулярными к оси вращения эллипсоида (параллели имеют вид окружностей). Эти же координатные сетки в виде меридианов и параллелей на картах строят по определенным математическим правилам.

Возможен выбор различных правил перехода к плоскости, т. е. построение изображения в разных картографических проекциях. Математическая основа картографических проекций позволяет производить на картах точные измерения. Однако для этого нужно знать закон распределения искажений каждой проекции.

Картографические проекции различают по разнообразным признакам, прежде всего по характеру сохраняемых свойств и виду сетки меридианов и параллелей. По первому признаку проекции делят:

на равновеликие, сохраняющие площади;

равноугольные (или конформные) проекции, которые сохраняют углы и, следовательно, формы контуров, но сильно искажают соотношение размеров (например, проекция Меркатора);

проекции, сохраняющие длины линий в некоторых направлениях или во всех направлениях из одной какой-нибудь точки;

производные, не сохраняющие полностью никаких свойств, но более или менее удобные для потребителя карты, распределяющие искажения по всему изображению.

В геодезии и топографии применяют проекцию Гаусса–Крюгера – это такое конформное (подобное) равноугольное изображение поверхности земного эллипсоида на плоскости, при котором осевой меридиан изображают прямой линией с сохранением масштаба, экватор – также прямой, перпендикулярной осевому меридиану, а все остальные меридианы и параллели – кривые линии.

2.5. Проекция Гаусса–Крюгера

В любой проекции изображение получается тем более искаженным, чем больше картографируемая территория. Поэтому прямоугольная система координат не может быть распространена на большую территорию. Приходится решать задачу по частям.

В 1825 г. К.Ф. Гаусс впервые решил общую задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Частным случаем этой задачи является отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. Предложенная К.Ф. Гауссом проекция практически не применялась. В 1912 г. А. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила название проекции Гаусса–Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодезических работах.

Геометрическая интерпретация проекции Гаусса–Крюгера выглядит следующим образом. Поверхность земного эллипсоида условно делят меридианами на зоны, соответствующие 6° по долготе. Средний меридиан зоны называется осевым. Затем эллипсоид вписывается в поперечно расположенный цилиндр так, чтобы плоскость его экватора совместилась с осью цилиндра, а один из осевых меридианов оказался касательной к его боковой поверхности. Эту зону, а затем и последующие по определенному математическому закону проецируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра (рис. 4, а). После проецирования поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезав цилиндр по образующим, касательным земных полюсов. Спроецированные аналогично последовательно одна за другой зоны соприкасаются между собой в точках, расположенных по линии экватора, как это показано на рис. 5, а.

Рис. 4. Схема образования проекции Гаусса–Крюгера:

а – геометрическое представление получения изображения зоны;
б – спроецированное на плоскость изображение зоны
(---- – действительные размеры зоны, — – размеры зоны в проекции)

Получается, что вся поверхность Земли разбивается на 60 зон, считая от начального – Гринвичского меридиана (0°). Через каждую зону от Северного до Южного полюса проходит прямолинейный осевой меридиан зон. Долгота осевого меридиана n-й зоны равна (6n – 3)°. Нумерация зон идет с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Территория России располагается примерно в 28 зонах: от 4 до 32. В пределах каждой зоны плоская координатная система располагается самостоятельно. Оси X и Y размещаются по осевому меридиану зоны и экватору. Начало отсчета координат в их пересечении. Поскольку территория России расположена в северном полушарии, то все значения х всегда будут положительными. Значения координаты у могут быть в каждой зоне и положительными и отрицательными. Чтобы избежать этих неудобств, начало отсчета ординат искусственно сдвигают на запад на 500 км (рис. 5). Другими словами, к значению у прибавляют 500 км. Ширина полузоны по долготе составляет всего 3°, т. е. порядка 333 км, поэтому все значения у станут положительными. Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении у указывается также номер зоны. Например, если координаты точки даны в виде: х = 6 650 457, у = 4 307 128, то это значит, что точка расположена от экватора на расстоянии 6 650 457 м; в значении координаты у цифра 4 означает номер зоны, а от оставшегося числа следует отнять 500 000 м, тогда получим расстояние нашей точки от осевого меридиана, а именно – 192 872 м. Такие координаты называют преобразованными. Для удобства пользования плоскими координатами каждую зону покрывают сеткой квадратов, так называемой километровой сеткой (сторона квадрата равна 1 км), которая изображается на топографических картах масштаба 1:10 000; 1:25 000; 1:50 000 (на картах масштаба 1:100 000 квадраты двухкилометровые; 1:200 000 – от 4 до 10 км).

Рис. 5. Зональная система координат в проекции Гаусса–Крюгера:

а – деление поверхности Земли на зоны (1 – осевой меридиан, 2 – экватор);
б – определение плоских координат в зоне

Такая зональная система координат, принятая в качестве государственной, обеспечивает возможность построения на территории всей Земли системы плоских прямоугольных координат и позволяет получать практически без искажений довольно большие участки земной поверхности.

2.6. Искажения при изображении поверхности эллипсоида
на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера

Представим участок земной поверхности в виде части поверхности сферы радиусом R, который заменяется частью горизонтальной плоскости. Из рис. 6 видно, что с удалением от точки m разница DS в длине дуги S и ее проекции на плоскость S' возрастает, а расстояние между ними (высота точки местности) увеличивается. Из данных рис. 6 получаем

; ; .

Сделав ряд преобразований, запишем

. (1)

Можно также определить значение Dh, учитывая малость Dh относительно R и близость S и S',

. (2)

Рис. 6. Искажение длины линии и изменение высоты точки
при переходе от сферической поверхности к горизонтальной

Из расчетов по полученным формулам следует, что при длине линии 10 км DS составляет только 1:1 000 000 ее длины. Поэтому считается, что участок радиусом 10 км можно принять за плоский при съемке планов без рельефа. Значительно быстрее возрастают расхождения между высотами точек на сфере и на плоскости. При той же длине линии 10 км разность высот достигает уже 7,8 м, поэтому значение Dh можно не учитывать лишь при расстояниях меньше 1 км.

2.7. Полярные координаты. Связь плоской прямоугольной
и полярной систем координат

Система полярных координат может быть задана на плоскости, сфере или поверхности эллипсоида и состоит из точки М – начала координат (рис. 7) и полярной оси МA, относительно которых положение точки определяется координатами: углом положения a (дирекционный угол или румб на плоскости, азимут на сфере и эллипсоиде) и кратчайшим расстоянием S между точками М и М₁, считаемым по поверхности.

За полярную ось (начальное направление) обычно принимают: на плоскости – направление, параллельное оси абсцисс прямоугольных координат, а на сфере и эллипсоиде – северное направление меридиана, проходящего через точку М.

Связь плоской прямоугольной и полярной систем координат осуществляется путем решения прямой и обратной геодезических задач.

Рис. 7. Схема полярных координат точки M1	Рис. 8. Решение прямой и обратной геодезических задач

Прямая геодезическая задача. Задача формулируется так: заданы х_А и у_А – плоские геодезические координаты точки А (рис. 8). Измерено непосредственно в натуре расстояние S между точками и a – угол положения (направления). Находим приращения координат (см. рис. 8):

; . (3)

Получаем искомые координаты точки В:

; . (4)

Обратная геодезическая задача. Заданы х_А и у_А; х_B и у_B – координаты точек А и В (см. рис. 8). Следует найти угол положения и расстояние S_AB. Из рисунка видно, что

; ; (5)

. (6)