Устойчивость пластин при сдвиге

Еще один простой и в то же время достаточно распространенный вариант напряженного состояния пластины - чистый сдвиг: .

Строго говоря, такое состояние порождается равномерно распределенными по контуру касательными усилиями. Однако этот случай является широко распространенной расчетной моделью для стенок лонжеронов при условии, что нормальными напряжениями в них можно пренебречь, а также для панелей кессонов при кручении.

Линеаризованное уравнение устойчивости (13.17) для этого случая

(16.1)

Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана (15.1)

. (16.2)

Как и при сжатии, начнем исследование с достаточно длинной пластины Легко видеть, что решение типа цилиндрического изгиба

здесь не проходит, поскольку в (16.1) при дифференцировании по координате y исчезает член, содержащий .

Решение вида

также не проходит, т.к. после подстановки (16.2) в (16.1) переменные не разделяются.

Решение в одинарных рядах

удовлетворяющее условиям шарнирного опирания длинных кромок пластины, после подстановки в (16.1) дает

(16.3)

Поскольку функции на [0,b] не ортогональны, уравнение может привести только к бесконечной связанной системе дифференциальных уравнений относительно разных , что мало привлекательно для решения.

Форму, в которой можно искать приближенное решение для длинной пластинки, подсказывает эксперимент (рис.16.1) - пластина теряет устойчивость с образованием косых волн. Такую форму можно аппроксимировать функцией

(16.4)

обнуляющейся на линиях , образую-щих с осью угол и отстоящих друг от друга на . Функцию следует задать так, чтобы она отвечала кинематическим граничным условиям на продольных кромках.

Например, при их шарнирном закреплении

. (16.5)

Это традиционное представление не удовлетворяет условию

(16.6)

Поскольку условие (16.6) статическое и, следовательно, его выполнять не обязательно, остановимся на представлении (16.5).

Теперь можно воспользоваться методом Релея-Ритца или методом Бубнова-Галеркина, сохранив контурный интеграл в (15.20). Воспользуемся первым. Подставим (16.4), (16.5) в (16.2).

Приравняв нулю, найдем

(16.7)

Параметры найдем из условия минимума

что дает

(16.8)

Таким образом,

Подставляя (16.8) в (16.7), находим

где (16.10)

. (16.11)

Для пластинки, защемленной по продольным кромкам, задав

,

получим .