Математическое ожидание (МО) случайной величины (СВ) и его свойства.

Математическое ожидание дискретной СВ Х – число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие вероятности . В этом случае СВ Х задана таблицей:

Математическое ожидание непрерывной СВ с плотностью вероятности f(x) – число равное интегралу . Предполагается, что интеграл сходится, xЄ(a,b)

Свойства:

1. МО от постоянной величины равно постоянной величине: М(С)=С. Д-во: Константа С –– дискретная СВ, кот. принимает одно лишь значение С с вероятностью 1.

2.Постоянный множитель выносится за знак МО: М(СХ)=С·М(Х). Д-во: Пусть Х_i – дискретная СВ М(С,Х)=∑ С·х_i·р_i=СМ(Х).

3.МО суммы СВ равно сумме их МО: М(∑Х_i)=∑М(Х_i). Д-во: Пусть , , введем замену , ,тогда .

4.МО произведения независимых СВ равно произведению их МО: М(xy)=M(x) ·M(y). Д-во: Пусть x,y – независимы и , тогда

5.МО отклонения СВ от МО этой же СВ равна 0: М(х-М(х))=0. Д-во: М(х-М(х))=М(х)-М(М(х))=М(х)-М(х)=0.

10.Дисперсия СВ и её свойства.

Дисперсией или рассеянием дискретнойСВ наз. МО квадрата отклонения СВ от ее МО:

Дисперсия биномиального распределения равна:

Теорема: Дисперсия равна разности между МО квадрата СВ Х и квадратом его МО: D(x)

Д-во: ;где Т.Д.

Свойства:

1.Дисперсия от постоянной величины равна 0: D(C)=0. Д-во: D=M(C-M(C))=M(C)-M(C)=0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(Cx)=C²·D(x). Д-во: D=M(Cx-M(Cx))²=C²M(x-M(x))²=C²D(x)

3. Дисперсия суммы 2-х независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ: D(x+y)=D(x)+D(y). Д-во: D(x+y)=M((x+y)²)-(M(x+y))²=M(x²+2xy+y²)-(M(x)+M(y))²=M(x²)+M(2xy)+M(y²)-(M(x))²-2M(x)M(y)-(M(y))²=(M(x²)-(M(x))²)+(M(y²)-(M(y))²)=D(x)+D(y).

Следствие: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ

4. Дисперсия суммы постоянных величин и СВ равна дисперсии СВ: D(x+C)=D(x). Д-во: D(x+C)=D(x)+D(C)=D(x).

5. Дисперсия разности 2-х независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ: D(x-y)=D(x)+D(y). Д-во: D(x-y)=D(x)+D(-y)=D(x)+(-1)²D(y)=D(x)+D(y).

6. Дисперсия произведения равна: D(xy)=M(x²)M(y²)-(M(x))²· (M(y))².

Пр.: и т.д.