Устойчивость упругого равновесия

Зная упругие свойства тел, мы всегда можем рассчитать деформации под действием заданных сил. Такие расчеты проводятся в курсе теоретической физики, Их основная идея сводится к следующему.

Рис. 1.19.

Под действием внешних сил в теле создаются напряжения. Эти напряжения действуют на элементарный объем через поверхности, его ограничивающие. На рис. 1.19 изображена одна нормальная f₁₁ и две тангенциальные силы f₂₁ и f₃₁, действующие на заштрихованную грань кубика. Модули этих сил равны

(1.56)

Здесь индексы указывают на то, что силы приложены к площадке, перпендикулярной x₁ и действуют в направлении оси x₁ ( - нормальное напряжение) и осей x₂ и x₃ ( - соответствующие тангенциальные напряжения)
Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS₂ и dS₃. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин (i, k=1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона (1.4) и модулем всестороннего сжатия k (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы ли эти деформации или нет.

Рис. 1.20.

В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости стержня при его продольном сжатии силой F (рис. 1.20). При малых сжимающих силах сжатия стойка находится в устойчивом равновесии, т.к., испытав малое случайное отклонение от вертикали, стойка, тем не менее, возвращается в вертикальное положение. С увеличением нагрузки случайные отклонения исчезают все медленнее со временем. При F=F_кр наступает состояние безразличного равновесия: прямолинейная форма теряет устойчивость, а устойчивым уже будет изогнутое состояние стержня (пунктир на рис. 1.20 б). Такое раздвоение равновесия, характеризующегося двумя его формами, называется бифуркацией. Новая криволинейная форма равновесия при F>F_кр хотя и устойчива, однако такая деформация мало приемлема, поскольку в стойке возникают недопустимо большие изгибы и напряжения.
Задача о выпучивании стержня при продольном сжатии была решена в XVIII веке выдающимся математиком Леонардом Эйлером. Рассчитаем, следуя Эйлеру, значение критической силы F_кр и форму изогнутого стержня, когда последний шарнирно закреплен за оба конца (рис. 1.21).

Рис. 1.21.

Форма изогнутого стержня u(x) может быть получена из уравнения (1.46), в котором вместо момента поперечной силы для произвольного сечения x=const, отмеченного пунктиром, следует записать момент сдавливающей силы в виде M=Fu. Тогда уравнение (1.46) примет вид:

(1.57)

Если обозначить и обратить внимание, что уравнение (1.57) аналогично уравнению гармонических колебаний, то его решение записывается сразу в виде

(1.58)

Из граничного условия u(0)=0 следует, что . Из другого граничного условия следует

(1.59)

Каждому значению q_n соответствует своя конфигурация изогнутого стержня, представляющая собой синусоиду, имеющую n полуволн. Эти конфигурации возникают при соответствующих значениях сил, равных

(1.60)

При n=1 формула (1.60) дает значение критической силы

(1.61)

Последняя формула была получена Эйлером и носит его имя.
Другие направленные формы равновесия (n=2, 3...) являются неустойчивыми, однако они могут быть реализованы, если стержень дополнительно закрепить шарнирными опорами в сечениях, где u=0 (рис.1.21в).
Полученный результат имеет большое практическое значение. В силу неустойчивости стержней при их сжатии, толкающие рычаги и штоки в машинах делают по возможности короче и большого сечения, в то время как тянущие штоки, имеющие большой запас прочности на разрыв, могут быть и не очень толстыми. По аналогии легко понять, что герметичные емкости, испытывающие нагрузку на разрыв (например, паровые котлы) делают более тонкостенными, чем емкости, подверженные сжатию (оболочки батискафов, подводных лодок и пр.)