Задание 8

Методом Рунге-Кутта найти решение дифференциального уравнения y'' = f(x, y, z) c начальными условиями у(х₀) = у₀, на отрезке [0;0,3] и с шагом h = 0,1. Найти аналитическое решение у(х) = у заданного уравнения и составить таблицу точного и приближенного решений заданного уравнения во всех точках х₁, х₂, х₃. Все вычисления вести с шестью десятичными знаками.

Варианты задания

1.		у(0)=1	(0)=1
2.		у(0)=1	(0)=2
3.		у(0)=1	(0)=2
4.		у(0)=1	(0)=-2
5.		у(0)=1	(0)=-1
6.		у(0)=1	(0)=3
7.		у(0)=5	(0)=0,5
8.		у(0)=1	(0)=2
9.		у(0)=-1	(0)=1
10.		у(0)=1	(0)=2
11.		у(0)=1	(0)=1
12.		у(0)=1	(0)=-1
13.		у(0)=1	(0)=-1
14.		у(0)=1	(0)=1
15.		у(0)=1	(0)=-1
16.		у(0)=2	(0)=1
17.		у(0)=1	(0)=2
18.		у(0)=1	(0)=-1
19.		у(0)=1	(0)=2
20.		у(0)=1	(0)=-2
21.		у(0)=1	(0)=-1
22.		у(0)=0	(0)=0,5
23.		у(0)=1	(0)=-1,5
24.		у(0)=2	(0)=1
25.		у(0)=-7	(0)=0
26.		у(0)=4	(0)=-1
27.		у(0)=3	(0)=1
28.		у(0)=-2	(0)=1
29.		у(0)=3	(0)=2
30.		у(0)=1	(0)=3

Задача для самостоятельного решения

Применяя метод сеток с шагом τ = h = π/18, найти решение уравнения U_xx = U_tt; 0 ≤ x ≤ x; t ≥ 0 , удовлетворяющее граничным (ГУ) U(0,t) = U(x,t) = 0и начальным (НУ) U(x,0) = x·(π - x); U_t(x,0) = 0 условиямна первых трех временных уровнях.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

1. Что является источниками погрешностей при численных вычислениях?

2. Назовите три основных группы погрешностей.

3. Что должен делать вычислитель при работе с приближенными величинами?

4. Основные трудности вычислений на компьютере?

5. Основные понятия о системе линейных уравнений?

6. Матричная запись систем линейных уравнений.

7. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

8. Записать решение системы линейных уравнений в матричной форме.

9. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.

10. Какими элементарными преобразованиями пользуются при решении системы линейных уравнений метода Гаусса?

11. В чем заключается метод Гаусса?

12. Что называется пределом последовательности векторов?

13. Что называется пределом последовательности квадратных матриц?

14. Что является решением системы линейных алгебраических уравнений приближенными методами?

15. Какие приближенные методы вы знаете?

16. Что называется системой линейных уравнений приведенной к нормальному виду?

17. Что такое итерационный процесс?

18. Что принимается за нулевое приближение в методе простой итерации?

19. Условия сходимости итерационного процесса.

20. Чем отличается метод Зейделя от метода простой итерации?

21. Какие методы решения нелинейных уравнений вы знаете?

22. Записать алгоритм вычисления корней нелинейного уравнения методом Дихотомии.

23. Метод хорд.

24. Метод Ньютона.

25. Модифицированный метод Ньютона.

26. Отличие метода Рыбакова от модифицированного метода Ньютона.

27. Метод наискорейшего спуска.

28. Математическая постановка задачи интерполирования.

29. Задачи, возникающие при интерполировании

30. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

31. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа.

32. Понятие конечных разностей.

33. Свойства конечных разностей.

34. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов.

35. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

36. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

37. Линейное интерполирование по Эйткину.

38. Интерполяция и приближение сплайнами.

39. Приближение линейными сплайнами.

40. Постановка задачи численного интегрирования функций.

41. Записать формулу трапеций.

42. Записать формулу парабол (формула Симпсона).

43. Постановка задачи численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

44. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях.

45. Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

46. Модифицированный метод Эйлера.

47. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта.

48. Порядок заполнения таблицы «Схема метода Рунге–Кутта».

49. Преимущество метода Рунге–Кутта перед другими численными методами решения дифференциальных уравнений.

50. Назовите свойства конечных разностей.

51. Суть разностного метода решения уравнений математической физики (метод сеток).

52. Понятие устойчивости разностной схемы.

53. Метод сеток для уравнений параболического типа.

54. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.

55. Метод сеток для уравнений Пуассона.

56. Решение задачи для уравнения Лапласа.

57. Постановка и решение задачи теплопроводности.

Библиографический список

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1983.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Физматиздат, 1982.

3. Богомолов Г.И. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: МВТУ, 1994.

4. Вычислительные методы линейной алгебры. – Новосибирск: Наука, 1985.

5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.

6. Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. – М.: Физматиздат, 1982.

7. Дэннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 440 с.

8. Загускин В.А. Справочник по численным методам. – М.: Физматиздат, 1980.

9. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

10. Карчевский М.М. Методы вычислений. – Казань, 1990.

11. Копчелова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

12. Котлац Л. Численные методы. – М.: Изд-во Мир, 1983.

13. Петрякова Е.А., Хоменко А.П. Численные методы в инженерных расчетах. Учебное пособие.- Иркутск: Изд-во ИрИИЖТ, 1996.

14. Попов Д. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений.

15. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. – М.: Наука, 1975.

16. Размыслов Ю.П. , Ющенко С.Я. Практикум по вычислительным методам алгебры. – М.: Изд-во МГУ, 1989.

17. Рябенький В.С. Об устойчивости разностных схем. – М.: Физматиздат, 1983.

18. Старзетко Е.А. Алгоритмы и примеры решения уравнений. – Минск: Наука и техника, 1991.