Упражнения. Упражнение 1. Дано: емкость с красными и белыми бусинами, Пропорция красных бусин р, белых – q (рис

Упражнение 1. Дано: емкость с красными и белыми бусинами, Пропорция красных бусин р, белых – q (рис. 53).

Шаг 1. Методом случайных чисел с замещением изъятых бусин извлечь из емкости партию размера N. Получаем:

N всего

Х красных

N—Х белых

Шаг 2. Методом случайных чисел без замещения взять выборку объемом n. Получаем:

Рис. 53. Выборка берется из чаши с красными и белыми шариками. Образцы затем берутся из выборки. Замена каждого шарика, заложенного в выборку, подтверждает постоянство соотношения р в выборке при каждом отборе.

Шаг 3. Вернуть бусины из выборки в партию.

Шаг 4. Повторить Шаги 1, 2 и З несколько раз, поддерживая постоянный объем партии и объем выборки из нее. Запишите результаты для r и s.

Теоретическое распределение r и s будет

Выводы: (а) количество красных бусин в выборке объемом n и количество красных бусин в остатках биноминально распределены примерно в одной пропорции р и (b) они не связаны друг с другом. Иными словами, количество r красных бусин в остатках, соответствующих вы боркам с s = 17 дефектных единиц, будут иметь точно та кое же распределение, что и красные бусины в остатках, соответствующих образцам с s = О дефектных единиц.

Это теорема ужасает. Она показывает, что если отдельные дефектные единицы являются независимыми, что практически должно быть в случае, когда процесс находится в рамках хорошей статистической нормs, то успех любой попытки разработки плана приемки будет соответствовать результатам подбрасывания монеты с целью отбора остатков, подлежащих сплошной проверке. (Подбрасывание монеты несравненно дешевле, нежели тестирование образцов изделия).

Вместо изъятия выборки из партии изделий можно просто разделить партию на две части, выборку и остаток, методом случайных чисел.

Упражнение 2. Если распределение дефектных изделий в партиях более комплектное по сравнению с биномиальным и если правило приемки остатка основано на тестировании выборки, то следует ввести правило принимать остаток таким, как он есть, когда в выборке много дефектных изделий, и отвергать и подвергать сплошной проверке, если в выборке обнаружено мало дефектных изделий и если их не обнаружено вовсе, а не использовать обычные правила, противоположные данному.

Простейший способ понять суть вышеизложенного это рассмотреть случай, когда все поступающие партии исходного продукта содержат идентичное количество дефектных единиц. Дефектные единицы, не попавшие в остаток, окажутся в выборке, и наоборот. Следовательно, наличие значительного количества дефектных единиц в выборке указывает на их малое количество в остатке.

И.Д. Хилл (1960) указал второй способ производить партии с единообразным уровнем качества, допустим, 20 машин производят одно и то же изделие, из них 19 вы пускают изделия без брака, а одна выпускает только брак. Возьмите по одному изделию от каждой машины, таким образом вы получите партию изделий. Тогда каждая партия из 20 изделий будет иметь ровно 5% брака.

Партии изделий с почти стабильным качеством - не такая уж редкость. Для примера приведем блок из, скажем, 12 конвейерных дисков. Они перемещают металлические листы для штамповки. Один из конвейерных дисков неисправен. Почти вся произведенная с его помощью продукция оказывается бракованной. Остальные 11 в полном порядке, партии из 12 последовательно произведенных изделий будут содержать около 1/12 или 8,3% брака.

Упражнение 3. Доказательство правила все или ничего. Изымите случайно (методом случайных чисел) деталь из партии продукции. Назовем ее деталь i. Она окажется бракованной или наоборот. Следует ли предварительно проверить ее или же запустить в производство без проверки независимо от того, дефектная она или нет? Изобразим средние совокупньте издержки в виде таблицы (таб лица 5).

Мы видим, что Да и Нет равны, если p = k₁/k₂. Это свойство было названо Александром Мудом точкой перелома качества. В точке перелома совокупные издержки равны как для Нет, так и для Да. Далее мы наблюдаем, что если p< k₁/k₂ в случае Нет общие издержки будут ни же, а если p> k₁/k₂ меньшие издержки обеспечиваются в случае да. (см. рис. 54).

Очевидно, что если наихудшая партия, которая поступит, например, на будущей неделе, расположится слева от точки перелома, то все прочие партии окажутся лучше и расположатся еще дальше влево. Ясно, что в этом случае отмена контроля обеспечит минимум средних совокупных издержек — Случай 1.

Если же, с другой стороны, лучшая партия, которая должна поступить, расположится справа от точки перелома, все остальные партии будут еще хуже и расположатся еще дальше вправо. Это Случай 2. Минимальные средние совокупные издержки будут достигнуты 100 % -й проверкой всех партий.

Таким образом, минимальные средние совокупные издержки лежат на ломаной линии ОСД. Если значения p близки к точке В, то есть точке перелома, различия между отсутствием контроля и 100% -м контролем будут незначительными.

Упражнение 4. Минимальные средние совокупные издержки в случае множественных комплектующих допустим, у нас всего М комплектующих. При этом рi —средняя доля брака для комплектующей i, а, Кi — издержки на тестирование одной комплектующей. Дополнительные издержки, связанные с отказом собранного узла, обозначим через К, предположительно равное в случае любой комплектующей. (Некоторое изменение условных обозначений необходимо в связи с тем, что мы будем использовать символы к₂ для обозначения издержек тестирования комплектующей 2). Следует ли нам проверить все комплектующие или только часть? Если только некоторые, то какие именно? Используем приближенное значение Уравнения 3, стр. 433.

Различие между двумя планами будет в пользу Плана 2 на сумму

Какие комплектующие мы должны подвергнуть проверке и какие оставить без проверки, чтобы свести общие издержки к минимуму? Иными словами, каким образом мы можем максимизировать разницу между двумя планами? Ответ очевиден. Расположите М членов прогрессии.

в нисходящем порядке величины. Члены прогрессии начнутся с положительной величины, будут уменьшаться, пересекут нулевую отметку и будут продолжать уменьшаться. для достижения минимальных средних издержек величина суммы в вышеприведенной формуле должна быть максимальной. Соответственно, правило минимальных средних совокупных издержек формулируется следующим образом:

1. Комплектующие, для которых кi — Крi>0 являет- позитивным, не проверяются.

2. Проверьте все остальные комплектующие, для которых кi — крi является отрицательной величиной.

Рис. 54. График, отражающий минимальную совокупную стоимость детали в выборке бракованных деталей, как функцию качества исходных деталей р. Минимальный процент брака располагается вдоль ломаной линии ОСД. Перелом С возник при переломе качества, точка В, где p = k₁/k₂. Общая стоимость доведена до максимума путем использования 100 % проверки, где никакая проверка не даст минимальной совокупной стоимости и наоборот.

Следует поработать со всеми поставщиками, чтобы принести уровень качества всех комплектующих к статистической норме и уменьшить ее до рi. Успех этих усилий снизит совокупные издержки и позволит время от времени отказываться от проверки некоторых комплектующих.

Замечание 1. Простой сдвиг от отрицательной к положительной величине вызовет лишь незначительное сокращение издержек, в то время как большой скачок от значительной отрицательной величины к значительной положительной приведет к существенному сокращению издержек.

Замечание 2. Можно сказать, что каждая комплектующая имеет точку перелома качества, определяемую рi=Кi/К. Таким образом, наш результат для множественных комплектующих всего лишь повторяет План 1 и План 2 для простой комплектующей.

Замечание 3. С комплектующей, у которой распределение доли дефектных изделий располагается по обе стороны от точки перелома качества, следует поступать точно также как и с одной комплектующей.

Замечание 4. Используйте 100%-ю проверку каждой комплектующей, которая не находится в пределах хорошей статистической нормы: тем более, если она находится в состоянии хаоса.

Упражнение 5. (Задача показать, что если качество исходного материала стабильно лежит преимущественно на одной стороне от точки перелома качества, принятие любого плана контроля, кроме правил все или ничего рискует повысить совокупные издержки). Допустим, что мы проверяем долю f партии исходных материалов со средним уровнем брака р. Отбор деталей производится методом случайных чисел. В таком случае средние совокупные издержки на единицу подлежащего проверке материала и дополнительные издержки на ремонт и повторное тестирование собранного блока, вышедшего из строя из-за неисправной комплектующей, составит:

(пренебрегая издержками kp).

Вопрос заключается в том, какой должна быть вели чина f чтобы свести к минимуму у? Отметим для на чала, что у=k₁ независимо от величины f в точке, где p = k₁/k₂ (т. е. в точке перелома).

Слева от точки перелома p < k₁/k₂ Удобно переписать уравнение 5 в следующем виде

(6)

Очевидно, что если мы позволим изменяться в пределах от О до 1 слева от точки перелома качества, то у будет изменяться от своего минимума, равного pk₂ до k₁. Иными словами, любой контроль качества слева от точки перелома (p < k₁/k₂) только увеличит совокупные издержки. Очевидно, что любой план приемки в этом случае удвоит или утроит минимальные совокупные издержки.

Прежде чем исследовать область от точки перелома, где p > k₁/k₂, перепишем уравнение 5 следующим образом:

Если мы позволим f изменяться от О до 1 в этой области, у будет принимать значения от рk₂ и ниже до своего минимума k₁. Иными словами, 100%-я проверка справа от точки перелома качества приводит к минимальным совокупным издержкам. Менее чем 100%-я проверка (т. е. при f<1) увеличит средние совокупные издержки -по сравнению с минимальными.

На стр. 439 был приведен пример, предложенный Уильямом Дж. Лацко. Обратимся еще к одному примеру.

Иллюстративный пример. Некая компания принимает в качестве исходного материала алюминиевые заготовки для производства жестких дисков партиями по 1000 штук.

Ранее первым шагом по принятии партии был визуальный осмотр образцов в количестве 65 единиц, изъятых из партии наугад. Опыт показывает, что исходная заготовка, не прошедшая визуальный контроль, вызовет отказ готового диска, если ее использовать в производственном цикле. Каждая заготовка, отвергнутая в ходе визуального контроля, заменялась исправной.

Средняя пропорция заготовок, отвергавшихся в ходе визуальной проверки, составляла примерно 1 из 40, т. е. 0,025. Было принято за правило отвергать всю партию, если 5 или более заготовок в выборке признавались, непригодными (5 было верхним пределом, равным 3-м сигмам). Согласно отчетам, партии исходного материала чрезвычайно редко отвергались: на ближайшее будущее, соответственно, могла быть принята умеренная статистическая норма.

Таким образом, средняя доля дефектных, с точки зрения визуальной проверки, заготовок, используемых в производственном цикле, составляла 0,025 — (65/1000) Х Х0,025=0,023.

Полная стоимость визуального контроля составляет 7 центов на заготовку.

1 % заготовок приводится в негодность в ходе подготовки к визуальной проверке, а также в ходе самой проверки.

Описанная выше проверка касалась только дефектов, которые могли быть обнаружены визуально. Прочие дефекты, необнаруживаемые визуально, являются причиной отказа одного диска из ста в ходе окончательного тестирования. Это накладные издержки, общие и постоянные, независимо от пропорции исходного материала, подвергаемого визуальной проверке. По этой причине мы не рассматриваем их в нижеприведенной таблице издержек.

Стоимость, добавляемая в ходе изготовления диска, равна 11 долларам. Стоимость заготовки в производимом диске который не прошел контроль, подлежит рекламации: таким образом, потери на один диск составляют 11 долларов, не считая издержек на рекламацию. Пусть f доля материала, проверенного по описанному плану (=65/1000=0,065)

k₁ — стоимость визуальной проверки одной заготовки (=7 центов)

В — стоимость одной заготовки (2 доллара)

K₂ — добавленная стоимость (11 долларов) на одно изделие

р — среднее качество исходного материала в терминах визуально обнаруживаемых дефектов (= 0,025)

р’ - средняя доля дисков, неисправных из-за прочих дефектов (=0,01)

р” - средняя доля заготовок, допущенных в производство согласно описанному плану, которые однако. не прошли бы визуальный контроль, если бы были подвергнуты проверке, (0,025[1—65/1000] = 0,023).

F — доля заготовок, приведенных в негодность в ходе подготовки их к визуальной проверке, а также в ходе самой проверки (=0,01).

Теперь мы можем составить таблицу 6 для определения издержек.

Заключение. Разрыв между 100%-й проверкой и используемым планом столь велик, что вполне можно порекомендовать немедленно внести в него изменения. Эта рекомендация необходима в силу значительных отклонений в доле брака и затрат в вышеприведенной таблице.

Тем временем продолжаются совместные усилия поставщика и производителя по улучшению качества заготовок в надежде пересечь точку перелома с тем, чтобы отказаться от визуальной проверки и связанной с ней подготовки заготовок к проверке.

Примечание: Точка перелома отнюдь не выражается здесь простым отношением k₁/k₂, как было до сих пор, однако мы не будем входить в эти сложности.

Упражнение 6. Оно демонстрирует бессмысленность следующего правила, предъявленного одним большим концерном поставщикам:

Вследствие того, что мы полагаемся на выборочную проверку для определения приемлемости поставляемого материала, одна дефектная единица поставки приводит к отказу от целой партии.

Комментарии: (1) собственно говоря, большая часть партий направляется прямо в производственный цикл, пройдя проверку или без проверки. Клиент не может позволить себе отсрочек на проверку или на возвращение партии поставщику. (2) Если к k₁>pk₂, то выборочная проверка повысит совокупные издержки сверх минимума, достижимого при отсутствии про верки. К чему повышать издержки? (3) Если k₁< pk₂, то минимальные совокупные издержки достигаются в результате 100%-й, а не выборочной проверки. Опять же, к чему повышать издержки? (4) Если распределение качества исходных материалов полностью выпадает из статистической нормы и располагается вокруг точки перелома, то лучшим решением проблемы будет либо 100%-я проверка, либо использование правил Джойс Орсини (стр. 422). В таком случае, выходите из этого прискорбного положения. Работайте с поставщиком в целях улучшения качества, с тем, чтобы прийти к Случаю 1 (k₁< pk₂₎ и продолжайте совершенствование процесса, добиваясь, если возможно, нулевого уровня брака. (5) Короче говоря, цитированное выше требование отстало от жизни, неэффективно и гарантирует низкое качество при высоких издержках.

Упражнение 7. Оценка величины к. Мы исходим из допущения, что стоимость проверки детали, взятой из совокупной поставки S, равна обычной стоимости проверки детали, взятой из партии размером N. Пусть Хi = 1, если это деталь дефектная, либо же Хi = 0, если нет. Допустим, что Хi = 1, в таком случае деталь i оказывается дефектной. Тогда мы должны взять из совокупной поставки S ёще одну деталь и проверить ее: издержки составят k₁. Она также может оказаться дефектной, и нам придется брать и проверять следующие, и так до тех пор, пока нам не попадется исправная деталь. Мы можем отразить эти возможности посредством дерева вероятностей на рис, 55. Средние издержки будут, очевидно, равны:

Рис. 55. Проверка деталей с показателем вероятности р при х_i = 1, дефектная, и показателем вероятности ‚ при х_i = 0, не дефектная.

Общие средние совокупные издержки на проверку одной детали и замену дефектной детали исправной составят k₁+pk = k₁/q

Так как в большинстве случаев р мало, q будет близко к единице, в каковом случае мы можем заменить выражение k₁/q на k₁.

Упражнение 8. Условные обозначения

N = количество единиц в партии

n = количество единиц в выборке (предположительно взятых методом случайных чисел из партии) - с заменой дефектных единиц на исправные

р = средняя доля дефектного исходного материала; эта величина р представляет собой приблизительный прогноз средней величины на ближайшие несколько недель.

q =1 — р

р’ = средняя доля дефектных единиц в отвергнутых партиях, подлежащих сплошной проверке

р” = средняя доля дефектных единиц в принятых партиях, которые будут отправлены непосредственно в производство

k₁ = стоимость проверки одной детали

k₂ = стоимость разборки, ремонта, повторной сборки и тестирования сложного изделия в случае его отказа из-за дефектной детали, допущенной в производственный цикл

Р = средняя доля партий, предназначенных для сплошной проверки на начальной стадии контроля качества (т. е. отвергнутых).

Q = 1—Р = доля партий, принятых при первоначальной проверке.

Независимо от плана приемки, можно быть уверенным, что:

Теперь посмотрим, что будет происходить со средней партией, если мы прибегнем к этому плану.

n деталей без дефектов, неотправляемые в производство, (N — п) (детали, неотправляемые непосредственно в производство без проверки; среднее качество = р

(N—п) Р детали отвергнутые и подлежащие сплошной проверке. Затем исправные из их числа будут допущены к производству.

а) средние совокупные издержки составят:

б) Если p < k₁/ k₂ то p” — k₁/ k₂ будет отрицательной величиной, и мы достигнем минимальных общих издержек при п = 0 (Случай 1).

с) Если p > k₁/ k₂ и если мы преуспели в нахождении плана, обеспечивающего отрицательное значение величины р”— k₁ k₂ то средние совокупные издержки будут ниже издержек при 100%-й проверке.

д) Но если, несмотря на все наши усилия, наш план сохраняет положительное значение величины р” — k₁/k₂ то совокупные издержки превысили бы расходы в случае 100%-й проверки исходного материала. Эта та самая западня, избегать которую мы учились на примере 5.

Рис. 56. Масса в 50 шариков останавливается механически лопаткой с 50 отверстиями в ней из большого количества красных и белых шариков. Мы определяем 20 шариков как образец, а оставшиеся 30 - как остаток.