КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М2

ИЗУЧЕНИЕ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить особенности абсолютно упругих соударений, определить скорость звука в металле и модуль Юнга материала, из которого изготовлены шары.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

В механике под ударом следует понимать кратковременное взаимодействие двух или более тел, возникающее в результате их соприкосновения. Удар называется центральным, если непосредственно до него тела движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды. Абсолютно упругие соударения происходят в соответствие с законом сохранения импульса и законом сохранения механической энергии. Абсолютно неупругим называется удар, при котором не возникает потенциальной энергии упругой деформации, т.к. тела приобретают остаточную деформацию, не восстанавливая своих первоначальных форм. На эту деформацию расходуется часть кинетической энергии сталкивающихся тел. Поэтому закон сохранения механической энергии при неупругих соударениях не выполняется.

При упругой деформации тела возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму. Величина этих сил пропорциональна деформации тела (закон Гука):

(1)

где E — модуль Юнга, величина, характеризующая упругие свойства материала;

e — относительная деформация, ; s— механическое напряжение, , Па;

l_o — начальный размер системы; F — сила, вызывающая деформацию тела; S — площадь действия силы F.

Механическая система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано. В таких системах выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени:

и

где m_i и — масса и скорость i-ой материальной точки системы, состоящей из n точек.

Механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической энергии W_к и потенциальной энергии W_п взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами:

Кинетическая энергия — энергия движущегося поступательно тела.

Потенциальная энергия — энергия, обусловленная взаимным расположением тел или частей тел и характером их взаимодействия. Ею обладают упруго деформированные тела, сжатые газы, тела, поднятые над поверхностью Земли и др.

Закон сохранения механической энергии: если на систему внешние силы не действуют или их суммарная работа равна 0, то сумма кинетической и потенциальной энергии в системе с течением времени не изменяется:

Иначе, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех происходящих в ней процессах и превращениях. Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее силы потенциальны. Потенциальными называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела.

В настоящей работе исследуются закономерности абсолютно упругого удара на примере шаров. Проанализируем подробнее процесс удара. Начиная с момента соприкосновения соударяющихся шаров, происходит их упругая деформация (рис.1).

Рис.1

Величина максимального сближения шаров составляет »10^-5 м. В шарах при их соударении от места контакта шаров возникают продольные волны сжатия, которые распространяются в противоположные стороны. Эти волны представляют собой звук, скорость которого определяется видом материала, из которого изготовлены шары. Она зависит от плотности материала r и модуля Юнга E, характеризующих упругие свойства материала:

(2)

Отразившись от внешней поверхности шаров в точках А и Б, волны возвращаются в зону контакта. При этом шары, восстанавливая свою первоначальную форму и отталкивают друг друга. Время, в течение которого соприкасаются между собой шары, является временем соударения. Для шаров одинакового радиуса R, изготовленных из одного материала, время соударения t определяется по формуле:

(3)

где — скорость звука в материале; — относительная скорость шаров в момент соударения.

Силы, возникающие при деформации шаров, в процессе соударения изменяются со временем. По определению средняя сила равна:

Используя математическое выражение второго закона Ньютона в виде , получим:

где p₀ и p_t — проекции импульсов шаров на ось, соединяющую центры шаров, до и после удара.

Если один из шаров до соударения покоился (p₀ = 0), то приращение его импульса Dp = p_t. Известно, что при упругом соударении шаров с одинаковой массой они "обмениваются" своими импульсами. В рассматриваемом случае движущийся шар передает свой импульс ( )покоящемуся, а сам останавливается. Тогда приращение импульса Dp оказывается равным , а выражение для средней силы примет вид:

(4)

На основании закона сохранения энергии можно считать, что потенциальная энергия шара на высоте h переходит в кинетическую энергию непосредственно перед соударением:

(5)

Из рис.2 видно, что при отклонении шара от положения равновесия на угол a, он поднимается на высоту h, которая определяется по формуле:

где l — длина нити (проводника), на которой подвешен шар. Подставив h в выражение (5), получим:

(6)

Поскольку один из шаров перед ударом покоится, можно считать, что скорость, определяемая по этой формуле, является относительной скоростью соударения шаров.

Рис.2