Рекомендації щодо виконання

Ряд задач аналізу і синтезу фізичних систем різної природи (механічних, гідравлічних, електричних і т. д.) зводиться до розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь (СЛАР). Система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд:

(2.1)

або у векторно-матричній формі

, (2.2)

де – матриця коефіцієнтів; – вектор-стовпець вільних членів; – вектор-стовпець невідомих.

Запис системи (2.1) у вигляді матричного рівняння (2.2) вирізняється компактністю, дозволяє простіше оцінити властивості та закономірності явищ, спрощує і систематизує операції з перетворення і розв’язання початкових рівнянь.

На практиці для розв’язання матричних рівнянь застосовують прямі (точні) та ітераційні (наближені) чисельніметоди [].

Нижче наведено основні рекурентні формули прямих та ітераційних методів (табл. 1).

Таблиця 1 - Основні рекурентні формули методів розв’язання СЛАР

Прямі методи

Метод Крамера , , , де і –відповідно визначники матриць і А.

Метод Ґаусса У матричному вигляді прямий хід методу Ґаусса можна записати: де D – розширена матриця; – перетворені коефіцієнти матриці A та вектора B. Зворотний хід метода Ґаусса полягає в перетворенні трикутної матриці так, щоб у перших n стовпцях отримати одиничну матрицю, а в останньому (n+1)-ому стовпчику цієї матриці містилось розв’язання системи. Розв’язання матриці трикутного вигляду буде: .

Ітераційні методи

Метод простих ітерацій Систему n лінійних алґебраїчних рівнянь з n невідомими необхідно привести до ітераційного вигляду: або у матричній формі: , k=1, 2, . . . де k – номер ітерації. Елементи матриці a та вектора b обчислюють за формулами: ; ; ; i, j=1,2,..., n Ітераційний процес припиняється при виконанні умови: , де e – задана точність.

Метод Зейделя В ітераційному методі Зейделя для системи рівнянь виду , усі діагональні елементи якої не дорівнюють нулю, послідовно уточнюють компоненти розв’язання, при чому -тий компонент знаходять з -го рівняння. Якщо , то наступне наближення визначають з системи рівнянь виду: , де , , тоді .

Завдання для розрахунку

Розв’язати СЛАР за допомогою середовища Mathcad, використовуючи розглянуті прямі та ітераційні методи:

Коефіцієнти і вільні члени СЛАР заданої системи рівнянь наведено у табл. Б.5 додатка Б.