Кривизна кривой.

Пусть – регулярная кривая, – произвольная точка на ней и – точка кривой, близкая к . Обозначим через – меньший угол между касательными кривой в точках и , а – длину дуги отрезка кривой.

Определение. Кривизной кривой в точке называется предел отношения , когда .

Кривизну кривой также называют первой кривизной кривой.

Кривизна кривой, вычисляемая в заданной точке – неотрицательное число, в произвольной – неотрицательная функция.

Теорема. Регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) кривая имеет в каждой точке определённую кривизну . Если

естественная параметризация кривой, то

= .

Для произвольной параметризации ,

.

Доказательство. Пусть точкам и соответствуют значения параметра и .

Тогда – это угол между единичными векторами касательных и .

Так как , то из равнобедренного треугольника с вершиной в точке и боковыми сторонами и , получим

.

Поэтому

.

Замечая, что , при , и переходя к пределу при , получим

.

Следовательно, = .

Получим теперь формулу для вычисления кривизны , в случае произвольной параметризации кривой . Для этого вспомним (см. § 5), что

.

Тогда

и

.

Возводя это равенство в квадрат, и замечая, что , так как (см. § 3), получим

.

Отсюда

.