Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Каноническое уравнение эллипса




Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 1.7. Кривые второго порядка

План:

1. Окружность

2. Эллипс

3. Гипербола

4. Парабола

5. Общее уравнение кривых второго порядка

 

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

, (1)

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля.

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

 

Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

 
 

 


Рис. 1 Окружность

Окружностью радиуса R с центром в точке М0 (х0; у0) называется множество всех точек М плоскости, равноудалённых от центра М0, т.е. удовлетворяющих условию |ММ0| = R (рис. 1). Пусть точка М0 в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты (х0; у0), а М (х; у) – произвольная точка окружности. Тогда из условия |ММ0| = R получим уравнение

. (2)

Уравнению (2) удовлетворяют координаты любой точки М (х; у) окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, при х0 = 0, у0 = 0 получим уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

.

Уравнение (2) можно привести к виду (1):

.

Видим, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, то есть a > c.

Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис.2). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1 (- c; 0) и F2 (с; 0).

Прямая, проходящая через фокусы называется первой или фокальной осью эллипса.

Середина отрезка F1F2 называется центром эллипса.

Прямая, проходящая через центр перпендикулярно первой оси, называется второй осью эллипса.

Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса.

 
 

 


 


Рис. 2 Эллипс

 

Каноническое уравнение эллипса

 

Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1 + MF2 = 2a, то есть

(3)

Это и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (3) к более простому виду.

Так как a > c,то a2 - c2 > 0. Положим

a2 – c2 = b2 (4)

Тогда последнее уравнение примет вид b2x2 + a2y2 = a2b2 или

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.

Число а называется большой полуосью, число b называется малой полуосью эллипса, а > b.

Вершины эллипса имеют координаты:

А1 (а; 0), А2 (- а; 0), B1 (0; b), B2 (0; - b).

Эксцентриситет эллипса – это число, равное отношению расстояния между фокусами к длине большой оси:

.

Эксцентриситет определяет форму (вытянутость) эллипса. Чем меньше значение эксцентриситета, тем эллипс имеет более округлую форму. При = 0 эллипс превращается в окружность.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 73; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты