Общее уравнение кривых второго порядка

Уравнения окружности (2), эллипса (5), гиперболы (6) и параболы (7) после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

, (8)

где числа А и С не равны нулю одновременно.

Теорема. Уравнение (8) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А·С > 0), либо гиперболу (при А·С < 0), либо параболу (при А·С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для окружности – в точку или мнимую окружность, для эллипса – в точку или мнимый эллипс, для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Пример.Приведите к каноническому виду уравнение кривой 2-го порядка. Определите вид кривой.

а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Выделим полные квадраты для слагаемых, содержащих отдельно переменные х и у:

,

, .

Получили уравнение эллипса с центром в точке (2; 1), большая полуось а = 5, малая полуось b = 3.

б) Выделим полные квадраты для слагаемых, содержащих отдельно переменные х и у:

,

, .

Получили уравнение гиперболы с центром в точке (1; - 2) с полуосями а = 4, b = 3.

в) Выделим полный квадрат для слагаемых, содержащих переменную х:

, ,

, .

Получили уравнение параболы с вершиной в точке (1; -3).

Рассмотрим общее уравнение кривых второго порядка (1):

,

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от нуля.

Оно отличается от уравнения (8) наличием члена с произведением ху (B 0).

Заметим, что с помощью формул поворота осей координат можно преобразовать уравнение (1) в уравнение (8).

Теорема.Пусть в прямоугольной системе координат дано общее уравнение кривых второго порядка (1). Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих видов:

1) - эллипс;

2) - мнимый эллипс;

3) - пара мнимых пересекающихся прямых;

4) - гипербола;

5) - пара пересекающихся прямых;

6) - парабола;

7) - пара параллельных прямых;

8) - пара мнимых параллельных прямых;

9) - пара совпавших прямых.

При этом уравнения вида 1) – 3) определяют кривые 2-го порядка эллиптического типа; уравнения вида 4) – 5) определяют кривые 2-го порядка гиперболического типа; уравнения вида 6) – 9) определяют кривые 2-го порядка параболического типа.

Замечание. Уравнение (1) определяет кривую

- эллиптического типа, если А·С – В² > 0;

- гиперболического типа, если А·С – В² < 0;

- параболического типа, если А·С – В² = 0.

Иллюстрации:

Рис.1. «Окружность»

Рис.2. «Эллипс»

Рис.3. «Свойства эллипс»

Рис.4. «Гипербола»

Рис.5. «Каноническое уравнение гиперболы»

Рис.6. «Парабола»

Рис.7. «Уравнение параболы»

Презентация «Кривые второго порядка»

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение окружности. Как выглядит каноническое уравнение окружности?

2. Дайте определение эллипса. Перечислите основные свойства эллипса. Как выглядит каноническое уравнение эллипса?

3. Дайте определение гиперболы. Перечислите основные свойства гиперболы. Как выглядит каноническое уравнение гиперболы?

4. Дайте определение параболы. Перечислите основные свойства параболы. Как выглядит каноническое уравнение параболы?

5. Какие кривые 2-го порядка относят к эллиптическому типу? Гиперболическому типу? Параболическому типу?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.