КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Общее уравнение кривой второго порядкаУравнение второго порядка относительно переменных и вида описывает кривые второго порядка. Надо отметить, что в уравнении отсутствует слагаемое, содержащее произведение . Этот факт объясняется следующим образом. Рассматриваемое уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду, выполняя линейные преобразования. С геометрической точки зрения это выглядит как параллельный перенос системы координат. Если же работать с уравнением , то здесь надо сначала повернуть систему координат, а затем осуществить ее параллельный перенос. Предметом нашего исследования будут уравнения, не содержащие слагаемое с произведением , как более простые. По виду уравнения можно сразу определить вид кривой второго порядка. 1) если коэффициенты и равны ( ), то уравнение может описывать окружность; 2) если коэффициенты и не равны ( ), но имеют одинаковые знаки, то уравнение может описывать эллипс; 3) если коэффициенты и не равны ( ) и имеют разные знаки, то уравнение может описывать гиперболу; 4) если один из коэффициентов или равен нулю ( или ), т. е. отсутствует слагаемое, содержащее квадрат переменной или , то такое уравнение может описывать параболу. Кривые, заданные уравнением , имеют смещенные оси симметрии, а значит и центр симметрии или координаты вершин. Пример Установить вид кривой и построить ее график. Решение: Уравнение может описывать гиперболу: коэффициенты , причем имеют разные знаки: . Выделим полные квадраты по переменным . Для переменной получим квадрат суммы, а для переменной - квадрат разности. Преобразуем:
В итоге получили уравнение . Это уравнение описывает гиперболу, центр симметрии которой находится в точке . Докажем это. Введем обозначения: . Уравнения новых координатных осей имеют вид: Относительно старой системы координат новые оси записываются уравнениями: Отсюда следует, начало новой системы координат – точка с координатами: В новой системе координат заданное уравнение принимает канонический вид: Исследуем полученное каноническое уравнение. Это уравнение описывает гиперболу. График этой гиперболы не пересекает ось , а ось пересекает в точках Следовательно, мнимая полуось , действительная полуось . Для более точного построения искомого графика найдем точки пересечения графика заданной гиперболы с координатными осями старой системы координат . Точки пересечения графика гиперболы с осью
Точки пересечения графика гиперболы с осью
Вся нужная информация для построения графика, описанного уравнением , имеется.
|