Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

(1)

Поделив обе части уравнения (I) на получим уравнение

(2)

в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Поделив обе части уравнения на (1 + х²)(у + 3), по­лучим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя, имеем:

,

.

Для придания более простого вида полученному результату заменим произвольную постоянную С на . (Это возможно в силу произвольно­сти С). Тогда имеем

Потенцируя, получим , или

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что , умножим обе части уравнения на dx и разделим на множитель (у+1). Получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя обе части уравнения и беря произвольную постоянную в вида , получим

Потенцируя, находим общее решение:

Найдем значение С, соответствующее начальным условиями: , , откуда С = 3. Подставим С = 3 в формулу общего решения. Получим, есть частное решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.