Зимняя экзаменационная сессия

Курс 2

ЧАСТЬ І. Теоретический вопрос

Бинарные отношения

ЧАСТЬ ІІ. Практические задания (итоговый тест)

1. Задайте списком множество букв слова “молоко”. Укажите его мощность.

Ответ: {м, о, л, к}, 4.

2. Задайте характеристическим свойством множество корней уравнения sin x = 0

двумя способами. Является ли это множество бесконечным?

Ответ: {x׀ sin x = 0}, {x׀ x = πn, n Î Z}.

3. Задано множество А = {1, 2,[1, 2]}. Являются ли правильными записи:

1) 1 А; 2) 1ÎА; 3) {1, 2}ÎА; 4) {1, 2} А; 5) [1, 2]ÎА; 6) [1, 2] А; 7) {[1, 2]} А?

Ответ: 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да.

4. Выпишите булеан 2^А множества А = {1, 2}. Укажите несобственное подмножество множества А.

Ответ: {ø, {1}, {2}, {1, 2}}, {1, 2}.

5. А = {1, 2,3}, В = {3, 4, 5, 6}. Найдите: 1) А В; 2) А В; 3) А \ В.

Ответ: 1) {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 2) {3}; 3) {1, 2}.

6. А = [3, 5) {6}, В = (4, 6). Найдите: 1) А В; 2) А В; 3) А \ В.

Ответ: 1) [3, 6]; 2) (4, 5); 3) [3, 4] {6}.

7. Найдите дополнение С_ZA множества неположительных целых чисел А до множества Z.

Ответ: N.

8. Запишите правую часть формулы С(А В) = ... .

Ответ: С(А) С(В).

9. Нарисуйте фигуру в координатной плоскости, являющуюся геометрической интерпретацией прямого (декартового) произведения множеств [1, 2) и {2}.

Ответ:

10. Будет ли отношением эквивалентности на множестве R бинарное отношение «не больше» ( ≤ )?

Ответ: Нет.

11. Будет ли разбиением множества А = {1, 2,3} совокупность его подмножеств

{{1}, {2}, {2, 3}}?

Ответ: Нет.

12. Найдите образ f([1, 2]) отрезка [1, 2] и прообраз f^–1((4, 9)) интервала (4, 9) при отображении f: R R, x x².

Ответ: [1, 4], (– 3, – 2) (2, 3).

13. Является ли отображение f: [0, π] [0, 1], x sin x 1) сюръекцией; 2) инъекцией; 3) биекцией?

Ответ: 1) Да; 2) нет; 3) нет.

14. f: R R, x 3x, g: R R, x cos x. Найти (g f)(0).

Ответ: 1.

15. Проверьте, что отображение y: (0, + ∞) R, x log₂ x обратимо и найдите обратное отображение.

Ответ: y: R (0, + ∞), x 2 ^x_.

16. Постройте эскиз графика функции y = arcsin x (y = arccos x, y = arctg x,

y = arcctg x). Укажите D(y) и E(y).

Ответ:

17. Является ли множество четных чисел с отношением порядка ≤ вполне упорядоченным?

Ответ: Да.

18. Какие из следующих множеств являются 1) счетными, 2) имеют мощность континуума: а) (–∞, 1); б) Т (множество трансцендентных чисел); в) Z;г) Z (–∞, 1); д) Т (–∞, 1)?

Ответ: 1) в; 2 ) а, б, г, д.

19. Студент должен доказать, что равенство S(n) = 0 выполняется для любых натуральных n, начиная с n = 3.Он проверил справедливость равенства S(3) = 0 и предположил, что S(k) = 0 при любых k = 3, 4, 5, ... Какое еще утверждение ему нужно доказать, опираясь на это предположение?

Ответ: S(k+1) = 0 при k = 3, 4, 5, . . . .

20.Вычислите: ⁱ⁺¹(i + 2).

Ответ: 2.

21. А и В – конечные множества, |А| = 20, |А В| = 50, |А В| = 10. Найдите |В|.

Ответ: 40.

22. Сколькими способами из 7 кандидатур можно выбрать старосту, профорга и физорга?

Ответ: 210.

23. Сколькими способами из 10 кандидатур можно выбрать трех делегатов на конференцию?

Ответ: 120.

24. Найдите восьмой член разложения (девятый от начала) бинома Ньютона

(2а – в)¹⁰.

Ответ: 180а²в⁸.

25. Сколько различных наборов, содержащих не менее 6 предметов, можно составить из 2000 различных предметов?

Ответ: 2²⁰⁰⁰ – С ⁰₂₀₀₀ – С ¹₂₀₀₀ – С²₂₀₀₀ – С ³₂₀₀₀ – С ⁴₂₀₀₀ – С⁵₂₀₀₀.