КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 1. Интегралы ЭйлераЗадание 1, а. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, вычислить следующие интегралы: 1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. . Решение. 1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .
Задание 1, б. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, вычислить двойные интегралы: 1.5. ; 1.6. , где . Решение. Перейдём в интегралах 1.5, 1.6 в полярную систему координат , , , и применим формулу . 1.5. . 1.6. Изобразим область (рис. 1.1). Из рис. 1.1 видно, что , .
Задание 1, в. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, найти суммы рядов: 1.7. ; 1.8. . Решение. 1.7. . 1.8. .
Задание 2. Дана функция . Выразить через элементарные функции. 2.1. ; 2.2. . Решение. 2.1. . 2.2.
, .
Задание 3. Дана функция . Средствами Maple определить 4 первых локальных экстремума функции при . Решение. Функция имеет 4 первых локальных экстремума при в интервалах , , , , поэтому и экстремумы функции нужно искать на этих же интервалах. > restart; > n:=16: > y:=1/GAMMA(x)^n; > y1:=diff(y,x); Стационарные точки: > s:=seq(fsolve(y1=0,x=-i..-i+1),i=1..4); Экстремумы: > e:=seq(evalf(subs(x=s[i],y)),i=1..4);
Задание 4.Построить график функции в зависимости от аргумента при , где — номер варианта . > restart; > n:=16; > plot(Beta(x,n/2),x=0..3,0..5,color=NAVY,thickness=2);
Задание 5.Реализовать формулу Эйлера , при и ( — номер варианта, ) и сравнить последовательные результаты с точным значением гамма-функции. > restart; > n:=16; > Gamma_N:=(z,N)->subs(m=N,m!*m^z/product(z+k,k=0..m)); > seq(print(cat(`N=`,10^l,` Gamma=`, convert(evalf(Gamma_N(n/2,10^l)),string))),l=1..5); > print(cat(`Точное значение гамма-функции: `, convert(evalf(GAMMA(n/2)),string)));
|