Теорема 6. регулярная кривая g класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой g , то

|k| = . (13)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c(s). Тогда ¹ . В тех точках, где k ¹ 0 выполнено ¹ , а при естественной параметризации ^ , значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c(s+Ds) – две точки на кривой g, b(s) и b(s+∆s) – единичные векторы бинормали в этих точках, а q – угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

| b(s+∆s) – b(s)| = 2sin , Þ = × ,

Перейдем в этом равенстве к пределу при Ds ® 0

|(s)| = · = 1·|k| ,

т.к. при Ds®0 также и q ®0. Итак, |k|= | (s)| .

Т.к. | b(s)| = 1, то b(s)· b(s) = 1. Продифференцировав это тождество, получим

2·b = 0 Û ^ b.

Потом, b = t´n. Продифференцируем это равенство:

= ´n + t ´ .

Но t= Þ = || n Þ ´n = . Значит, = t´ Þ ^ t . Но мы выяснили уже, что ^ b. Значит, || n и косинус угла между ними равен ±1, а также |n|=1.Поэтому

|·n|= n||cos Ð(,n)| = ||=|k|.

Итак, |k|= |·n| (*).

Мы знаем, что

n = = , b = = .

Находим, что

= ( )¢_s´ + (´ + ´ ) = ( )¢_s´ + (´ ),

т.к. ´ = . Подставим это в (*):

|k|= |(( )¢_s´ + (´ )) · |=|( )¢_s + |= ,

т.к = 0, и при перестановке сомножителей модуль смешанного произведения не изменяется.

Придадим теперь кручению знак, чтобы выполнялось

k= . (14)

Это и есть формула для вычисления кручения, если кривая задана уравнением с естественным параметром.

Пусть кривая задана уравнением с произвольным параметром. Тогда кручение вычисляется по формуле

k= (15)

(без доказательства).

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая – плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой,

где эта кривая регулярна и k ¹ 0. При этом равенство кручения нулю предполагает его существование, а значит предполагает, что k ¹ 0. Если в точке A выполнено k = 0, то в этой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую

В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что

= ­­ n, || = k Þ = k n.

Также || n , |k|= | (s)| , и мы убрали модуль в формуле (1) так, что

k=– · n Þ =–kn .

Итак, мы уже знаем производные и . Найдем :

n = b´t Þ = ´t + b´ = –kn´t + b´ k n =–k(–b) + k (–t).

Запишем все формулы вместе:

= k n,

= –k t+kb, (16)

= –kn .

Они называются формулами Френе.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8.Если на некотором интервале IÌR заданы непрерывная функция k(s) и гладкая функция k(s)>0, то существует кривая g класса С², для которой s будет естественным параметром, k – кривизной, а k – кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

Таким образом, кривизна и кручение полностью определяют форму кривой, но толь­ко при условии, что k(s)¹0 на всей кривой. Для того, чтобы определить положение кривой в пространстве надо задать к системе (12) начальные данные, а именно, начальные векторы t(0), n(0), b(0) и начальную точку кривой O=c(0), т.е. надо задать ортонормированный репер. Если кривая задается с помощью другого ортонормированного репера {O¢, t¢, n¢, b¢}, то его можно совместить с первым репером с помощью движения, и тогда совместятся и задаваемые этими реперами кривые.