Понятие поверхности.

Определение. Элементарной поверхностью называется множество F Ì E³, гомеоморфное некоторой области U на плоскости. Гомеоморфизм r: U –®F называется параметризованной поверхностью или параметризацией элементарной поверхности F.

Наглядно это можно представить так. Мы плоскую область помещаем в пространство с помощью гомеоморфизма r; при этом она непрерывно деформируется без склеиваний.

Подчеркнем, что элементарная поверхность – это множество, а параметризованная – это отображение.

В пространстве можно ввести координаты (x, y, z), а в области U – координаты (u, v) (не обязательно декартовы). Тогда отображение r можно записать в виде

x = x(u, v),

y = y(u, v), (1)

z = z(u, v),

или

(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.

Таким образом, (u, v) представляет собой вектор-функцию двух аргументов. Согласно нашей договорённости об отождествлении, можем считать, что она задаёт как произвольную точку M(x, y, z) на поверхности, так и её радиус вектор = . Координаты в пространстве могут быть сферическими или цилиндрическими, но мы ограничимся рассмотрением только декартовых координат. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями поверхности F. Систему (1) можно переписать в виде одного векторного равенства: = (u, v).

У вектор-функции двух аргументов, как и у обычной функции двух аргументов можно вычислять частные производные. Их принято обозначать без штрихов: _u= ¶/¶u,_v= ¶/¶v.Примем без доказательства, что эти производные можно вычислять покоординатно:

_u=(x_u, y_u, z_u), _v=(x_v, y_v, z_v).

Также мы можем вычислять частные производные второго порядка и смешанные производные:

_uu= (x_uu, y_uu, z_uu), _uv= (x_uv, y_uv, z_uv)), _vv= (x_vv, y_vv, z_vv).

Определение. Говорим, что вектор-функция (u, v) двух аргументов принадлежит классу Cⁿ(U ), если она определена в области U, и у неё на этой области существуют все частные и смешанные производные вплоть до порядка n включительно, и они непрерывны.

В дальнейшем, стрелку над обозначением параметризованной поверхности ставить не будем.

Пусть F – элементарная поверхность, а r:U –®F – её параметризация. Каждая точка MÎF имеет координаты в пространстве: M(x, y, z). Такие координаты точки называются внешними. Кроме того, мы можем ввести на поверхности внутренние координаты. Если P(u_o, v_o)Î U и M = r(P) , то точке M приписываются тоже координаты (u_o, v_o).

Определение. Линии на области U, которые определяются уравнениями вида

u = u_o= const, или v = v_o= const, (2)

называются координатными линиями. Они образуют координатную сеть. Отображение r переводит их в линии на поверхности F, которые тоже называются координатными. Относительно внутренних координат на поверхности они определяются теми же самыми уравнениями (2). Эти линии образуют на координатную сеть на поверхности F.

Пример 1. Уравнения

x = a cos u cos v,

y = a sin u cos v,

z = a sin v,

uÎ(0,2p), vÎ(–p/2, p/2),

задают сферу, но не всю, а с разрезом по меридиану. Внутренние координаты точки на сфере – это ее долгота и широта.

Координатные линии на сфере – это параллели и меридианы. Они образуют координатную сеть.

Определение. Параметризованная поверхность r: U –®F называется регулярной, если rÎC¹(U ) и r_u r_v

(Û r_u´ r_v¹ Û | r_u´ r_v| ¹0 ) на всей области U. Точки, в которых регулярность нарушается называются особыми точками поверхности.

Определение. Элементарная поверхность F называется гладкой класса Cⁿ, если у неё существует регулярная параметризация класса Cⁿ.

Пример 2. Параметризованная поверхность r(u, v) = (u², u³, v), uÎR, vÎR задает элементарную поверхность, которая называется «цилиндр на полукубической параболе». Вектор-функция r(u, v) является дифференцируемой класса C^¥. Тем не менее, элементарная поверхность имеет излом. Точкам, которые лежат на ребре соответствует значение параметра u = 0. Имеем r_u(2u,3u², 0), r_u(0, v) = Þ r_u|| r_v при u = 0.

Из теоремы 2 §2 следует, что гладкая регулярная параметризованная поверхность задает элементарную поверхность без изломов.

Заметим, что параметризованные поверхностиr(u, v) = (u², u³, v), uÎ (0, +¥) , v Î R и g(s, t ) = (e^2s, e^3s, 2t +5), sÎR, tÎR задают в пространстве одну и ту же элементарную поверхность: половину полукубической параболы. Очевидно, что вторая поверхность получается из первой в результате подстановки u=e^s, v=2t+5. Это приводит нас к понятию замены параметров.

Пусть F – элементарная поверхность, r : U –®F – её параметризация, V – еще одна область на плоскости, а j: V –®U – биекция. Тогда

мы можем рассмотреть параметризованную поверхность

g = roj:V –®F.

Она задает ту же самую элементарную поверхность F.

Пусть на U и V заданы соответственно координаты (u, v) и (s, t). Тогда отображение j можно записать в координатах:

(4)

Получим, что g(s, t) = r(u(s, t), v(s, t)). Обозначим

J = –

матрица Якоби отображения j. Её определитель det J называется Якобианом отображения j. Говорим, что j является допустимой заменой или допустимым изменением параметров, если det J ¹ 0 на всей области V. Примем без доказательства, что |g_s´g_t|=| det J| · | r_u´ r_v|. Это означает, что допустимая замена параметров сохраняет регулярность поверхности; т.е. параметризованная поверхность gбудет регулярной тогда и только тогда, когда поверхность rрегулярная и замена j допустимая.

Рекомендуется также рассмотреть пример замены параметра в §9. В дальнейшем, если не оговорено противное, все рассматриваемые пути и параметризованные поверхности предполагаются регулярными.

Не любую из известных поверхностей можно получить в результате топологического отображения плоской области. Например, сфера не является элементарной поверхностью. Поэтому необходимо следующее определение.

Определение. Простой поверхностью называется множество FÌE³, обладающее следующим свойством: у каждой точки MÎF существует окрестность VÌF, являющаяся элементарной поверхностью.

Примеры. 3. В §4 главы 1 мы показали, что достаточно удалить из сферы одну точку, и оставшаяся часть будет гомеоморфна плоскости. Значит, сфера является простой поверхностью.

4. Аналогично, бесконечный круговой цилиндр является простой поверхностью: если удалить из цилиндра одну образующую, то оставшуюся часть можно «развернуть» на плоскость.

5. Тор является простой поверхностью. Если удалить окружности g₁ и g₂, то оставшаяся часть будет гомеоморфна прямоугольнику без границы.