Геодезические линии на поверхности.

Мы знаем, что кратчайшей кривой, соединяющей две точки P и Q на сфере является дуга большой окружности s. Её можно получить в сечении сферы плоскостью a , проходящей через P, Q и центр сферы. Эта плоскость проходит через нормаль к сфере в каждой точке окружности s. Поскольку s лежит в плоскости a, то и её главная нормаль в каждой точке лежит в этой плоскости, а значит она совпадает с нормальюк сфере.

Оказывается, на любой поверхности роль кратчайших линий играют кривые, обладающие этим свойством.

Определение. Кривая g на поверхности F называется геодезической, если её главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности.

Составим уравнение геодезических. Пусть = c(t) – параметрическое уравнение геодезической g. В каждой точке кривой g единичный вектор нормали к поверхности F параллелен главной нормали к g, а значит он параллелен соприкасающейся плоскости. Следовательно, он компланарен векторам c¢ и c² Û

Û c¢· c²· = 0. (23)

Это уравнение называется уравнением геодезической. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в векторном виде относительно неизвестной вектор-функции c(t). Для того, чтобы это уравнение имело единственное решение необходимо задать начальные

данные c(0) и c¢(0), т.е. необходимо задать начальную точку P = c(0) и начальный касательный вектор к кривой = c¢(0). Геометрически это означает, что из каждой точки на поверхности в направлении каждого касательного вектора выходит ровно одна геодезическая.

Из каждой точки на сфере в направлении каждого касательного вектора выходит ровно одна дуга большой окружности. Следовательно, других геодезических на сфере нет. Прямые на плоскости не подпадают под определение геодезических, т.к. для них k º 0. Тем не менее, для них c²º 0, а значит, они также удовлетворяют уравнению геодезических. Также, из каждой точки на плоскости в направлении каждого вектора выходит ровно одна прямая.

Примем без доказательства следующий факт. Если s – произвольная гладкая кривая на поверхности, то в ее окрестности можно ввести

полугеодезическую параметризацию поверхности, при которой s имеет уравнение u = 0, а семейство координатных линий v = const – это геодезические, перпендикулярные s. При этом, I квадратичная форма будет иметь вид

I(, ) = x₁²+G x₂². (24)

Теорема 4.(Экстремальное свойство геодезических I).Пусть g – произвольная геодезическая кривая на поверхности F, а PÎ g – произвольная точка. Тогда найдется такая окрестность V точки P, что для любых точек Q₁, Q₂Î g I V , отрезок геодезической g, соединяющий Q₁ и Q₂ будет кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки в пределах окрестности V.

Доказательство. Проведем через точку P геодезическую g^s. Введем в окрестности V точки P полугеодезическую параметризацию поверхности, при которой семейство линий v = const – это геодезические,

перпендикулярные s. Тогда g в пределах окрестности V задается уравнением v = v_o . Можно считать, что v_o= 0. Пусть Q₁, Q₂ÎgIV, а – произвольная кривая в окрестности V, соединяющая Q₁ и Q₂. Пусть h(t)=r(u(t), v(t)) – параметризация , Q₁= h(t₁), Q₂= h(t₂). Тогда, с учетом (24), находим, что длина дуги кривой от Q₁до Q₂ равна

= dt ³ | u¢|dt.

Параметризацию геодезической g можем выбрать так: c(t)=f(u(t), 0). Тогда длина дуги кривой g от Q₁до Q₂ равна

l = | u¢|dt.

Значит, l £ .

Теорема 5.(Экстремальное свойство геодезических II).В условиях теоремы 4 можно так выбрать окрестность W , что для любых точек Q₁, Q₂Î g I W, отрезок геодезической g, соединяющий Q₁ и Q₂ будет кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на поверхности.

Доказательство. Пусть V – это область из доказательства теоремы 4, а d – это расстояние от точки P до границы области V. Пусть W = B(P, d/2). Тогда любая кривая , которая имеет начало и конец в W, но покидает V будет иметь длину больше d. Но точки Q₁ и Q₂ можно соединить в пределах W кривой, длина которой меньше d, и

g является кратчайшей среди всех таких кривых. Следовательно g является кратчайшей среди всех кривых на поверхности, соединяющих Q₁ и Q₂.

Данная теорема показывает, что расстоянием между двумя точками на поверхности можно назвать длину отрезка геодезической, соединяющей эти точки.

Подчеркнем, что геодезические являются кратчайшими лишь локально, в пределах некоторой окрестности. В целом, на поверхности могут существовать кривые, соединяющие данные точки, которые будут короче отрезка геодезической.

Пример 1. Пусть F – это цилиндр, Q₁ и Q₂ лежат на одной параллели, достаточно близко друг к другу. Удалим из цилиндра точку P, лежащую на этой параллели между ними. Тогда единственной геодезической, соединяющей будет дуга параллели g (см. рисунок), но она не является кратчайшей. Кривая будет короче.

Примем без доказательства, что геодезические являются объектом внутренней геометрии поверхности. Это связано с тем, что длина кривой – это объект внутренней геометрии, а геодезические – это кратчайшие (локально). Поэтому геодезические можно найти с помощью методов вариационного исчисления.

Также примем без доказательства следующий факт.

Теорема 6.У каждой точки P на поверхности F существует окрестность V, такая что любые две точки Q₁, Q₂Î V можно соединить, и притом единственной, геодезической, лежащей в V.

В целом на поверхности это неверно. Диаметрально противоположные точки на сфере можно соединить бесконечным числом геодезических. Также и на цилиндре, любые две точки, не лежащие на одной параллели можно соединить бесконечным числом геодезических. Это будут те линии, которые на развертке цилиндра изображаются отрезками прямой.

Три из них показаны на чертежах. Легко догадаться, как получаются остальные. Аналогично, геодезическими на конусе служат кривые, которые на развертке конуса изображаются отрезками прямой.

Пример конуса показывает, что геодезические могут иметь самопересечения. Для того, чтобы после склейки кривая не имела изломов, отрезки должны подходить к границе развертки под прямым углом.

Замечание. В случае полугеодезической параметризации гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле K = – .

\