ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Решение задачи Коши , имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Решение:
Запишем уравнение в виде . Сделаем замену .
Тогда , и уравнение запишется в виде .
Разделим переменные: и проинтегрируем обе части последнего уравнения: .
Сделаем обратную замену: .

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения.
Из первого уравнения находим производную и после подстановки выражений для и во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: .
Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .
Дифференцируя полученное решение, находим .
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

,

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

Решение:
Запишем уравнение в виде . Сделаем замену .
Тогда , и уравнение запишется в виде .
Разделим переменные: и проинтегрируем обе части последнего уравнения:
Сделаем обратную замену:

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид .

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения.
Из первого уравнения находим производную и после подстановки выражений для и во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: .
Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .
Дифференцируя полученное решение, находим .
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
Подставим в исходное уравнение и найдем значения : .
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения .

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

Решение:
Сделаем замену . Тогда , и уравнение примет вид: .
Проинтегрировав обе части, получим: . Сделаем обратную замену: .

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
Подставим в исходное уравнение и найдем значения : .
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения .

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде . Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Дифференциальное уравнение будет однородным дифференциальным уравнением первого порядка при , равном …

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения.
Из первого уравнения находим производную и после подстановки выражений для и во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: .
Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .
Дифференцируя полученное решение, находим .
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

При решении системы дифференциальных уравнений можно получить уравнение второго порядка вида …

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением в полных дифференциалах

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Обозначим , .
Тогда , то есть .
Следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

Решение:
Запишем уравнение в виде . Сделаем замену .
Тогда , и уравнение запишется в виде .
Разделим переменные: и проинтегрируем обе части последнего уравнения:
Сделаем обратную замену:

ЗАДАНИЕ N 41 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

ЗАДАНИЕ N 42 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим , откуда .
После подстановки во второе уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Общее решение этого уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – некоторое частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью.
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим .
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Дифференцируя полученное решение, находим и
.
Значит, общее решение системы уравнений имеет вид: .

ЗАДАНИЕ N 43 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделенными переменными, которое имеет вид …

Решение:
Если , то и .
Тогда уравнение запишется в виде .
Разделив переменные, получим: .

ЗАДАНИЕ N 44 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью.
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
Подставим в исходное уравнение и найдем значение : .
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид , а общее решение – .

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений

Начало формы

Конец формы

Уравнение является …

уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Начало формы

Конец формы

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид: .

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения

Начало формы

Конец формы

Дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделенными переменными, которое имеет вид …

Решение:
Если , то и .
Тогда уравнение запишется в виде .
Разделив переменные, получим: .

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Начало формы