Опрацювання результатів прямих багаторазових вимірювань

У вимірювальній практиці для підвищення якості вимірювань часто звертаються до вимірювань з багаторазовими спостереженнями, тобто до повторення одним і тим же оператором одноразових спостережень в однакових умовах з використанням одного і того ж засобу вимірювань. В результаті відповідного статистичного опрацювання отриманих даних вдається зменшити вплив випадкової складової похибки на результат вимірювань.

В переважній більшості практичних застосувань приймають модель нормального розподілу випадкових похибок.

Якщо в якомусь конкретному вимірюванні заздалегідь невідомий закон розподілу, то необхідно провести детальні дослідження на предмет встановлення форми розподілу. Найчастіше на основі експериментальних даних спочатку будують гістограму і за її формою роблять попередній висновок про вид розподілу. Далі на основі критерію Пірсона c² чи іншого перевіряють гіпотезу про приналежність даного розподілу до вибраного модельного.

Вихідною інформацією для обробки є ряд з n (n > 4) результатів вимірювань x₁, x₂, x₃, … x_n. Число n залежить як від вимоги до точності результату, так і від реальної можливості виконати повторні вимірювання.

Послідовність обробки результатів прямих багаторазових вимірювань складається з ряду етапів. На першому етапі визначають:

· Середнє арифметичне значення виміряної величини:

Це значення одночасно є математичним очікуванням

· Знаходять абсолютні випадкові відхилення (похибки)

, … .

З ростом числа вимірювань сума випадкових похибок повинна наближатися до нуля:

Цей висновок оснований на аксіомі випадковості теорії випадковий похибок, що при дуже великому числі вимірювань і при відсутності систематичних похибок позитивні і негативні похибки зустрічаються однаково часто.

· Обчислюється сума квадратів випадкових похибок і ця сума повинна бути мінімальною

Такий висновок оснований на аксіомі розподілу, що при кількості вимірювань малі похибки зустрічаються частіше, ніж великі; дуже великі похибки практично не зустрічаються.

· Визначається оцінка СКВ абсолютних випадкових відхилень кожного з одноразових n спостережень

Перевіряються найбільші відхилення від середнього значення результату спостережень на можливість їх спотворення грубими похибками чи наявністю промахів. Одним з критеріїв визначення грубих похибок є критерій «трьох сигм» . За цим критерієм вважається, що результат, що виникає з ймовірністю , малоймовірний і його можна вважати промахом, якщо Такий критерій надійний при числі вимірювань

При потребі результати з грубими похибками відкидають і повторно виконуються вище зазначені пункти при скороченій вибірці.

· Знаходиться оцінка СКВ середнього арифметичного значення

З виразу для видно, що воно в раз менше за оцінку СКВ окремих спостережень . Звідси висновок, що збільшуючи число вимірювань і прийнявши середнє значення всіх вимірювань за результат вимірювання, можна зменшити середньоквадратичне значення похибки в раз. Збільшення кількості вимірювань до 100 викликає десятикратне звуження довірчого інтервалу 6 . Однак при цьому різко збільшуються технічні та часові витрати й починає перешкоджати не виключена систематична похибка.

· Оцінюються довірчі границі похибки і записується вимірювання. Якщо за результат прийняте будь-яке значення х_і, тоді при відсутності систематичної похибки , Р_дов = …

Якщо за результат прийняте середнє арифметичне значення, тоді при відсутності систематичної похибки , Р_дов = …

Проведені n вимірювань повинні бути статистично незалежними.

· Для випадку малої кількості прямих вимірювань границі довірчого інтервалу похибки знаходять

де t – коефіцієнт розподілу Стьюдента, що є табульованим, для різних значень n довірчої ймовірності P_дов.

Значення коефіцієнтів Стьюдента

Визначення закону розподілу результатів вимірювань чи їх випадкових похибок. В останньому випадку від вибірки результатів вимірювань x₁, x₂,…, x_n переходять до вибірки відхилень від середнього арифметичного ∆x₁, ∆x₂,…, ∆x_n.

· Першим кроком для ідентифікації закону розподілу є побудова варіаційного ряду, а також у_і, де у₁ = min(x_i) і у_n = max(x_i). В варіаційному ряді результати вимірювань (чи їх похибок) розташовують в порядку зростання.

· Далі цей ряд ділять на оптимальне число m однакових інтервалів групування шириною

Для практичного використання доцільно вибрати і Значення m повинно бути непарним.

· Визначаються межі інтервалів [∆_j-1, ∆_j] так, щоб верхня межа j-го інтервалу була (j, ∆), а його нижня межа співпадала з верхньою межею (j – 1)-го інтервалу: ∆_{j ниж} = ∆_{(j-1) верх}.

Далі підраховують число похибок n_j, які потрапляють в кожний з m інтервалів. За одержаними значеннями розраховують ймовірність попадання результатів в кожний з інтервалів , де j = 1, 2, …, m.

Проведені розрахунки дозволяють побудувати гістограму. Для побудови гістограми по осі результатів спостережень відкладають інтервали ∆_j в порядку зростання номерів і на кожному інтервалі будується прямокутник висотою (середня густина в інтервалі ∆_j). В цьому випадку площа під гістограмою дорівнює одиниці. При збільшенні числа інтервалів і відповідно зменшення їх ширини гістограма наближається до гладкої кривої – графіка густини розподілу ймовірності.

Як засіб оцінки близькості розподілу вибірки експериментальних даних до прийнятої аналітичної моделі закону розподілу використовуються критерії згоди. Найчастіше в практиці використовують критерій Пірсона. Ідея цього методу полягає в контролі відхилень гістограми експериментальних даних від гістограми з таким же числом інтервалів, побудованої на основі розподілу, збіг з яким визначається.

Критерій Пірсона має вигляд: ,

де n_j – частота попадання результатів спостережень в j-й інтервал,

P_j – теоретичне значення ймовірності попадання результатів в j-й інтервал, яке обчислюється за формулою:

де – функція Лапласа, .

Якщо розрахована за експериментальними даними міра розходження c² менша визначеного з таблиці значення , то гіпотеза про співпадання експериментального і вибраного теоретичного розподілу приймається.