Интерполяция кубическими сплайнами

Интерполяцию кубическими сплайнами будем рассматривать на примере:

Даны точек , . Определить все коэффициенты сплайна , , , т.е. всего коэффициентов, , т.к. отрезок.

Рассмотрим два любых соседних отрезка и с номерами и . Точка для них является общей, см. рис. 2.1.

Рис. 2.1. Кубический сплайн.

Для правого отрезка кубический сплайн имеет вид (2.1), а для левого, т.е. при

,

(2.3)

.

В общей точке приравняем левые и правые значения и производных и в соответствии с определением кубического сплайна. Используя обозначение для длины левого отрезка, получаем три уравнения для пяти неизвестных коэффициентов , , , , .

Такие тройки уравнений можно записать для всех внутренних узлов , , что даёт уравнений.

(2.4)

(здесь это номера участков).

Ещё одно уравнение получаем, записывая для последнего узла первое из условий

(2.5)

В результате получаем уравнений. Эти уравнения содержат неизвестных, т.к. для каждого отрезка между узлами имеем 3 неизвестных. Очевидно, что для однозначного определения коэффициентов нужны ещё два уравнения.

Эти дополнительные два уравнения могут быть произвольными, но обычно полагают, что функция вблизи её концов является линейной

и ,

(2.6)

откуда , =0

В результате введения двух дополнительных условий получается система уравнений с неизвестными коэффициентами , , . Эти уравнения можно преобразовать, выразив коэффициенты и через . Введем формально . Тогда, имеем из последнего и первого уравнений (2.4) и уравнения (2.5):

, , .

(2.7)

Подставляя эти выражения во второе уравнение (2.4), получим СЛАУ для коэффициентов :

,

(2.8)

, при , .

В результате система из линейных уравнений для неизвестных коэффициентов . Матрица системы (2.8) состоит, в основном, из нулей и имеет только три ненулевых диагонали, а поэтому для её решения применяют не метод Гаусса, а специальный эффективный метод прогонки, резко сокращающий количество операций.

Часто систему уравнений (2.8) записывают для вторых производных в узлах, обозначая их . Тогда она принимает вид (Бахвалов, Численные методы, М., 2002):

(2.9)

, причем и формально введено .

Пример:

Функция f(x) задана таблицей

i= 1.3

построить интерполяционный сплайн 3 порядка :

по определению кубического сплайна на i отрезке является кубическим многочленом

вычислим:

по определению должно выполняться

:

В данной работе было рассмотрено интерполирование функции кубическим сплайном. Мной была разработана программа в среде программирования на языке Си++для интерполирования функции sinx на отрезке [0, π] при равномерном разбиении с удвоением числа отрезков n. Блок – схема программы , текст и результаты её работы представлены в приложениях 1, 2 и 3.

Список литературы.

[1] Практическое руководство по сплайнам. Де Бор К. М. Радио и связь, 1985.

[2] Методы сплайн-функций. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л.-М.: Наука. 1980г.

[3] Теория сплайнов и её приложения. Альберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж.: М.Мир, 1972г.

[4]http://techlibrary.ru

[5] http://ru.wikipedia.org

[6] http://cyberleninka.ru