Интерполяционные формулы и их остаточные члены

В интерполяционных формулах используется нормированный аргумент

. (9)

1) Первая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед – применяется, как правило, для вычисления значений функции в начале таблицы разностей):

+

+ , (10)

или

, (11)

где рекуррентные коэффициенты вычисляются следующим образом:

, а ; (i = 1, 2, …, n). (12)

2) Вторая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционныймногочлен Ньютона для интерполирования назад – применяется, как правило, для вычисления значений функции в конце таблицы разностей):

+

+ . (13)

3) Интерполяционная формула Бесселя (центральных разностей):

+

+ + …

…

+

+ . (14)

4) Интерполяционная формула Лагранжа (одна из формул, применяемая для неравноотстоящих узлов)

(15)

Пример1.В табл.2 приведены экспериментальные данные (столбцы 1 и 2) и конечные разности (столбцы 3–6) при их горизонтальном расположении. С этими табличными данными необходимо установить наличие ошибки в экспериментальном значении функции, устранить ее и составить исправленную таблицу конечных разностей.

Решение. Из табл.2 видно, что третьи разности совершенно беспорядочны около середины столбца, еще более беспорядочны четвертые разности. Из этого заключаем, что в значение функции при x = 40 вкралась ошибка. Движение ошибки заключено в жирную рамку. Для определения величины ошибки сначала вычислим по (8), учитывая, что i = 5, исправленное значение разности второго порядка:

= (–83 – 103 – 106)/3 = –293/3.

Т а б л и ц а 2

К примерам 1 и 2

x
			–61	–13				–61	–13	+1
			–74	–9	–11			–74	–12	+1
			–83	–20				–86	–11	–1
			–103	–3	–11			–97	–12	+1
40			–106	–14				–109	–11
			–120	–11				–120	–11	+2
			–131	–9	–3			–131	–9	–3
			–140	–12				–140	–12
			–152					–152

Теперь по формуле (7) вычисляем :

.

Выражение (6) дает возможность вычислить исправленное значение функции:

.

С этим исправленным значением функции составляем новую таблицу разностей (табл.2, столбцы 7–12), из которой видно, что после внесения поправки в значение функции для x = 40 результаты получились более сглаженными. Для сравнения исправленная часть таблицы также заключена в жирную рамку.

Пример2. Используя данные в столбцах 7–12 табл.2, установить, разностями какого порядка следует выполнить вычисления, и по первой формуле Ньютона и формуле Бесселя вычислить значение функции для x = 37 (h = 5).

Решение. Рассмотрим разности третьего порядка. В этом случае , , . Из данных табл.2 получаем:

, ,

т.е. ни одно из условий (5) не выполняется.

Теперь рассмотрим , , . В этом случае

, ,

поэтому в данном примере достаточно использовать разности третьего порядка.

Далее определяем нормированную величину (для x = 37) по формуле (9): .

Для применения формулы Ньютона по рекуррентным соотношениям (12) вычисляем коэффициенты :

; ;

; .

По формуле (11) находим искомое значение функции (в пределах точности данных табл.2):

=

= 34290 + 1861 + 12 - 1 = 36162.

По формуле Бесселя (18) получим следующий результат:

= = 36162.

Как видим, результаты, полученные по формулам Ньютона и Бесселя, с точностью округлений совпадают.