Моделі теплового розширення твердих тіл

Модель ангармонічних коливань. Для побудови елементарної теорії теплового розширення твердих тіл можна використати найпростішу двоатомну модель, яка дає достатнє узгодження не тільки якісне, а й кількісне.

Енергія взаємодії в такій моделі має вигляд асиметричної кривої 1 на рис.1 потенціалу Леннарда-Джонса

, (2.8)

де і – константи, – відстань між атомами, що взаємодіють. У всіх випадках , і чим більша ця нерівність, тим більша асиметрія.

Уявлення про гармонічність характеру коливань частинок у кристалічній гратці є коректним лише при дуже малих амплітудах коливань атомів навколо рівноважної відстані , що відповідає найменшій енергії системи (крива 2 на рис.2.1). Наближення гармонічних коливань ніяким чином не передбачає теплове розширення твердих тіл і не може бути застосовано для його пояснення.

Потенціальну енергію двох сусідніх атомів, що коливаються при зміщенні їх на відстань від положення рівноваги при 0 К можна розкласти у степеневий ряд у околі точки рівноваги

(2.9)

де ангармонізм моделі враховується у третьому порядку розкладу (2.9).

Поклавши для випадку одновимірної задачі

; ; ; ; ,

із (9) отримаємо наближене співвідношення

де має назву коефіцієнта квазіпружної сили, коефіцієнт ангармонічності. Сила взаємодії атомів

,

де поруч із квазіпружною силою гармонічних коливань (перший доданок) виникає доданок, у якому наближено враховується асиметрія міжатомної взаємодії.

Нехай середнє зміщення атомів від положення рівноваги. Воно відмінне від нуля внаслідок асиметрії потенціалу Леннарда-Джонса (рис.2.1, крива 1). Середнє значення проекції сили, яка діє на атом, що коливається, на вибраний напрямок дорівнює нулю

,

отже . Оскільки середня енергія теплових коливань буде дорівнювати ( стала Больцмана), то , а . Прямо пропорційна залежність середнього зміщення атомів відносно положення рівноваги від температури і призводить до збільшення розмірів тіл при нагріванні.

Введений формулою (2.2) коефіцієнт лінійного розширення твердих тіл у рамках розглянутої моделі набуває вигляду

, (2.10)

а за формулою (2.7) можна визначити і коефіцієнт об’ємного розширення .

Статистична модель. Більш строго вираз (2.10) можна отримати, скориставшись функцією розподілу Больцмана у потенціальному полі, яка дозволяє усереднити значення будь-якої фізичної величини з урахуванням термодинамічної імовірності відповідних значень.

Імовірність відхилення атома від стану рівноваги на величину визначається як

. (2.11)

Розклавши останній множник в ряд, отримаємо

,

а сталу знаходять з умови нормування функції розподілу , звідки

. За означенням середнє зміщення атома від положення рівноваги визначається за допомогою функції розподілу як

.

Після очевидних перетворень отримаємо , як і у випадку моделі ангармонічних коливань, а отже і вираз (2.10) для коефіцієнта лінійного розширення твердих тіл.