Динамические характеристики в частотной области

Если рассматривать не функции времени, а их изображения по Лапласу

, ,

то вместо свертки функций (3-20) можно записать для их изображений

, (3-21)

где W(p) называется передаточной функцией системы.

Из (3-21) можно дать и другое определение передаточной функции

, (3-22)

При нулевых начальных условиях передаточная функция обозначается часто также через К(р).

В отличие от дифференциальных уравнений и временных динамических характеристик, передаточная функция не имеет простого физического смысла. Однако в инженерных расчетах пользуются именно операциями над изображениями. При этом широко используют следующие свойства преобразования Лапласа (табл. 3-1).

Более понятным становится смысл передаточной функции, если рассмотреть весьма близкую к ней динамическую характеристику — комплексный коэффициент усиления

, (3-23)

где Ф — обозначение изображения по Фурье; ω — частота.

Как и для передаточной функции, здесь можно записать (для невозбужденной при t<0 системы)

где Х(jω), Y(jω) —изображения по Фурье входного и выходного воздействий.

Если входным воздействием является гармоническое , то в установившемся режиме на выходе системы будет также гармоническое воздействие . В этом случае ККУ приобретает весьма! простой смысл: ККУ показывает отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе (рис. 3-5,а). Это отношение в общем случае зависит от частот входного гармонического сигнала. Поэтому получаем ККУ в виде

, (3-24)

где — модуль ККУ (амплитудно-частотная характеристика АЧХ, показывающая изменение усиления амплитуды сигнала в зависимости от частоты); - аргумент ККУ (фазочастотная характеристика ФЧХ, показывающая сдвиг фазы).

Рис. 3-5 Определение и изображение АФХ

Таблица 3-1

№ пп	Свойства	Оригинал f(t) f(t)=0 при t<0	Изображение F(р)
	Свойство линейности
	Теорема подобия
	Теорема запаздывания
	Теорема затухания
	Дифференцирование при нулевых начальных условиях
	Интегрирование при нулевых начальных условиях
	Свертка функций
	Теорема о конечном (и начальном) значении
	Теорема разложения (для простых корней)	pk — корни А(р)=0

Изображения некоторых функций

1а	δ-функция
2а	Единичный скачок
За	Нарастающий сигнал
4а	Экспонента

На практике весьма часто характеристику (3-24) изображают на комплексной плоскости, когда частота изменяется от нуля до бесконечности, и называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Иногда ее называют также годографом ККУ. Типичный вид АФХ объекта с инерционностью (к таким объектам относится большинство промышленных процессов) показан на рис. 3-5,б. Из АФХ видно, что амплитуда колебаний на выходе с ростом частоты падает до нуля, при этом выходные колебания все больше отстают по фазе от входных (φ<0).

На практике наибольшее распространение при анализе и синтезе одноконтурных систем получим логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), имеющая логарифмический масштаб амплитуды

[децибел] (3-25)

и логарифмический масштаб по оси частот, и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ), имеющая логарифмический масштаб только по оси частот. Их применение связано с двумя обстоятельствами: во-первых, при произведении амплитудно-частотных характеристик соответствующие ЛАЧХ просто складываются (далее будет показано, что частотные характеристики одноконтурных систем образуются именно как произведение характеристик отдельных звеньев), во-вторых, появляется возможность упрощенного построения ЛАЧХ в виде отрезков прямых, что связано с изменением кривизны характеристик при построении их в логарифмическом масштабе. Связь между значениями А и L иллюстрируется табл. 3-2, при этом А — натуральное число.

Таблица 3-2

Поскольку при произведении комплексных коэффициентов усиления их аргументы (фазовые характеристики) складываются, то нет необходимости применять логарифмический масштаб для фазы.