Основные свойства средней арифметической величины

1. Произведение средней величины и суммы частот равно сумме произведений значений (вариант) признака на частоты

2. Если из каждой варианты вычесть какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшается на то же число

Тогда средняя величина исходных значений

3. Если к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное число, то новая средняя увеличится на то же число

Тогда средняя величина исходных значений

4. Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз

Тогда средняя величина исходных значений

5. Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз

Тогда средняя величина исходных значений

6. Если все частоты умножить (разделить) на какое-либо число, то средняя не изменяется

7. Если все варианты имеют одинаковую частоту (f₁ = f₂ = …= f_n = k), то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической простой

8. Сумма отклонений, как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю

Использование свойств 2 и 4 позволяет значительно упростить расчеты и вычислить арифметическую среднюю в сгруппированном ряду распределения по формуле

где m₁ - момент первого порядка

Метод упрощенного расчета средней величины называется методом отсчета от условного нуля или способом моментов.

Степенные средние используются для расчета хронологических, многомерных и других средних показателей.

Средняя хронологическая является характеристикой ряда динамики и рассчитывается для интервальных и моментных рядов с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями (см. п. 1.4 «Показатели рядов динамики»).

Средняя многомерная величина рассчитывается для каждой i-й единицы статистической совокупности по формуле

где k - количество признаков, характеризующих единицу статистической совокупности; - нормированное значение j-го признака i-й единицы совокупности, определяется следующим образом

где - значение j-го признака i-й единицы статистической совокупности; - среднее значение j-го признака в статистической совокупности.