наименьших квадратов

Лабораторная работа №5

Подбор формул по данным опыта методом

наименьших квадратов

Теоретическая часть

В практической работе зависимость между переменными величинами часто получается в результате опыта (измерений). Обычно в этом случае зависимость оказывается заданной в виде таблицы. Функции, заданные таким образом, могут входить в дальнейшие операции и расчеты. Для удобства пользования такими зависимостями необходимо сначала подобрать формулу, хорошо описывающую опытные данные. Подбор такой формулы является существенной частью обработки экспериментальных данных. Одним из методов получения этих формул является способ наименьших квадратов.

Пусть в результате опытов найдены некоторые значения х_i, и соответствующие им значения у_i, которые заданы табл. 1.

Таблица 1

Требуется найти зависимость y = f(x). Такой зависимостью может быть одна из следующих:

у = ax + b - линейная;

y = bx^a - степенная;

y = be^ax - показательная;

y = b + a lnx - логарифмическая;

- гиперболическая и т. д.

Метод наименьших квадратов позволяет подобрать более точные значения параметров a и b. Предварительно необходимо установить общий вид аналитической функции, который можно выявить по опытным данным, если их нанести на плоскость с координатами xOy.

Зависимость Y от X, изображаемая аналитической функцией

Y = f(X), не может совпадать с экспериментальными значениями Y_i во всех n точках. Это означает, что для всех или некоторых точек имеем разность

(рис. 1)

Di = Yi – f(Xi), (1)

отличную от нуля.

Метод наименьших квадратов заключается в том, что подбираются параметры a и b таким образом, чтобы сумма квадратов разностей (1) (рис. 1) была наименьшей, т.е.

Пусть вид функции y = f(x) установлен, то её можно представить в виде Y = f(X) = j(X, a, b), где a и b – искомые параметры.

x₁ X

Рис. 1. Теоретическая и экспериментальная зависимости

Тогда

(2)

Для нахождения минимума выражения (2) вычислим частные производные по аргументам a и b и приравняем эти производные к нулю,

получим:

} (3)

Система (3) содержит два уравнения с двумя неизвестными a и b. Решив систему, найдём значения параметров a и b. При найденных значениях параметров величина Z будет наименьшей, то есть, аналитическая зависимость будет наилучшим образом описывать экспериментальные данные.

Пример.

Пусть эмпирические данные необходимо описать линейной зависимостью y = ax + b, т.е. j(x, a, b) = aх+ b.

Тогда, согласно методу наименьших квадратов, запишем:

(4)

Выбираем числа a и b так, чтобы величина z была наименьшей, для чего найдем частные производные выражения (4) по a и b, получим:

}

Эти два условия дают нам следующую систему уравнений:

} (5)

Из системы (5) получаем:

(6)

При решении уравнений (6), целесообразно представить промежуточные расчеты в виде табл. 2.

Таблица 2

i	Xi	Yi	XiYi
	X1	Y1	X1Y1
	X2	Y2	X2Y2
…	….	…	…	…
n	Xn	Yn	Xn Yn
Итого	SXi	SYi	SXi Yi	S

Примечание. Если нас интересует нелинейная зависимость, то проводя аналогичный расчет для выбранного типа функции, получим соответствующие выражения параметров a и b. Однако этого можно и не делать, если есть возможность перейти от нелинейной зависимости к линейной:

a) пусть ; заменим , получим линейную зависимость

y = ax´ + b;

б) y = b + a lnx ; заменим ln x = x´, получим y = ax´ + b;

в) y = b x^a ; логарифмируя, получим lny = lnb + a lnx.

Заменим lny = y´; lnb = b´; lnx = x´.

Имеем y´ = ax´ + b´.

г) y = b e^ax ; логарифмируя, получим lny = lnb + ax.

Полагая ln y = y´; ln b = b´, имеем y´ = b´ + ax.

Для линейных зависимостей коэффициенты a, a´, b, b´ находим из (6).

Сведение нелинейной регрессии к линейной выполняется с помощью линеаризующих преобразований в ходе ввода X_i, Y_i и при выводе a и b (см. табл.3).

Таблица 2.3- Преобразования, сводящие нелинейную регрессию к линейной

Практическая часть

Используя опытные данные таблицы, рассчитать коэффициенты парной регрессии с помощью ручного счета и ЭВМ. Привести графики теоретической и экспериментальной зависимостей.

Вариант №1 Вариант №2

Вариант №5 Вариант №6